Figure sans paroles #5.4.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.4.6

    le 7 octobre 2019 à 18:15, par Sidonie

    ABCD est un quadrilatère circonscriptible. Il s’agit de prouver que le centre G du cercle et les milieux H et I des diagonales sont alignés.

    On prolonge les côtés pour faire apparaître un quadrilatère complet : E et F sont les sommets supplémentaires. On trace l’ellipse de foyers E et F qui passe par A . On a déjà vu qu’elle passait par C et que G est le point d’intersection des tangentes en A et C. On trace J milieu de [EF].

    1. Dans un quadrilatère complet les milieux des diagonales sont alignés (déjà vu) donc H ,I et J sont alignés.

    2. Dans une ellipse si on prend deux points A et C alors le centre de l’ellipse (j), le milieu de [AC] (H) et l’intersection des tangentes (G) sont alignés. Plusieurs démonstrations se trouvent aisément sur internet, celle que je préfère s’appuie sur l’affinité orthogonale qui transforme le cercle principal en ellipse.

    3. On a donc l’alignement G, H et I (avec J en plus)

    Document joint : fsp_5.4.6.jpg
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    • 5.4.6

      le 7 octobre 2019 à 21:21, par Hébu

       ??? (c’est sûrement exact, mais sybillin)

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      • 5.4.6

        le 8 octobre 2019 à 16:34, par Sidonie

        Le point 1 est la droite de Newton dont une démonstration se trouve ici c’est la plus simple à mon avis, sinon on peut se rabattre sur un repère A,B et C. Les démonstrations purement géométriques sont un peu indigestes.

        Le point 2 peut s’éclaircir avec la figure suivante. En bleu un cercle avec l’alignement O, H’ et I’ évident puis en noir l’ellipse obtenue par affinité orthogonale. M et N sont invariants d’où l’alignement O, H et I

        Document joint : affinite_orthogonale.jpg
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        • 5.4.6

          le 9 octobre 2019 à 14:35, par Hébu

          Grazie mile !

          Le point 1 ne me posait pas trop de souci, il me semble qu’on l’a déjà rencontré, à propos des quadrilatères complets. C’est une propriété assez bien documentée, « géométriquement », par ldes papiers du 19ème siècle, qu’on retrouve facilement (Catalan, par exemple) — mais c’est vrai qu’elle donne lieu à des acrobaties tordues.

          .

          C’est le deuxième point qui me laissait perplexe. J’entrevois maintenant la réponse. Reste à creuser un peu...

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    • 5.4.6

      le 14 juin à 17:32, par Hébu

      En cherchant sur le web, je suis tombé sur une preuve intéressante, qui s’appuie sur un théorème d’un certain Léon Anne (1806-1850, dit Wikipedia).

      Soit $P$ un point intérieur à un quadrilatère non parallélogramme. On le connecte à chacun des sommets, faisant apparaître 4 triangles. Le lieu géométrique des points tels que les sommes des aires des triangles opposés soient égales est la droite de Newton.

      Et, si le quadrilatère est un quadrilatère complet ABCD, O le centre du cercle inscrit, la condition sur les sommes des côtés opposés assure que aire(OAB)+ aire(OCD)= aire (OCB)+aire(OAD), c’est à dire que le point $O$ est sur la ligne.

      .

      La preuve du théorème est étonnante :

      Si on introduit un système de coordonnées cartésiennes, $(p,q)$ seront les coordonnées de $P$,, la distance entre $P$ et une ligne (un côté du quadrilatère) sera une fonction linéaire de $p$ et $q$. Donc, l’aire d’un triangle à base donnée, quand $P$ se déplace, sera une fonction linéaire de $p, q$. Si notre point est le $P$ connecté aux sommets, l’aire de chaque somme sera une fonction linéaire. Et donc la différence des aires sera fonction linéaire de $p$ et $q$, et le lieu, déterminé par une différence nulle, sera défini par une équation linéaire — c’est à dire une droite.

      Maintenant, si $P$ se situe en $J$ ou $K$ (milieux des diagonales), ces deux aires sont égales : le lieu recherché est donc la droite qui joint ces points.

      (adapté de « Charming Proofs : A Journey Into Elegant Mathematics » de Claudi Alsina, Roger B. Nelsen

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