Figure sans paroles #5.4.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.4.6

    le 7 octobre à 18:15, par Sidonie

    ABCD est un quadrilatère circonscriptible. Il s’agit de prouver que le centre G du cercle et les milieux H et I des diagonales sont alignés.

    On prolonge les côtés pour faire apparaître un quadrilatère complet : E et F sont les sommets supplémentaires. On trace l’ellipse de foyers E et F qui passe par A . On a déjà vu qu’elle passait par C et que G est le point d’intersection des tangentes en A et C. On trace J milieu de [EF].

    1. Dans un quadrilatère complet les milieux des diagonales sont alignés (déjà vu) donc H ,I et J sont alignés.

    2. Dans une ellipse si on prend deux points A et C alors le centre de l’ellipse (j), le milieu de [AC] (H) et l’intersection des tangentes (G) sont alignés. Plusieurs démonstrations se trouvent aisément sur internet, celle que je préfère s’appuie sur l’affinité orthogonale qui transforme le cercle principal en ellipse.

    3. On a donc l’alignement G, H et I (avec J en plus)

    Document joint : fsp_5.4.6.jpg
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