Figure sans paroles #5.4.8

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.4.8

    le 21 octobre à 14:04, par Hébu

    Un quadrilatère circonscriptible $ABCD$. Soit $O$ le centre du cercle inscrit. $AO, BO, CO, DO$ sont les bissectrices.

    .
    Un cercle, tangent à $AB$ et $BD$ coupe $AD$ en deux points $G, H$. Alors, il faut montrer qu’un second cercle passant par $G$ et $H$ est tangent à $AC$ et $CD$.
    .

    Puisque le cercle est tangent à $AB$ et $BD$, son centre se trouve sur la bissectrice de $B$.

    Soit donc $P$ un point sur $OB$. $J, K$ les projetés de $P$ sur $AB$ et $BD$. $PJ$ coupe $AO$ en $E$.

    Depuis $E$, $EN$, perpendiculaire à $AC$, coupe $CO$ en $Q$. $M$ projeté de $Q$ sur $CD$.

    Puisque $E$ est sur la bissectrice de $A$, les triangles $AEN$ et $AEJ$ sont égaux et $AN=AJ$.

    Partant de l’égalité $AC+BD=AB+CD$, et de $AN=AJ$, $BJ=BK$, $CN=CM$, une petite manipulation montre que $DK=DM$.

    .
    Je trace un cercle de centre $P$, tangent en $J, K$ à $AB$ et $BD$.

    Je trace un cercle de centre $Q$, tangent en $N, M$ à $AC$ et $CD$.

    Ces deux dercles vont se couper en deux points $G, H$.

    La puissance du point $A$ par rapport au cercle de centre $P$ est $AJ^2$, et $AN^2$ par rapport au cercle de centre $Q$. Et puisque $AN=AJ$, $A$ est sur l’axe radical de ces deux cercles. De même, puisque $DM=DK$, $D$ est aussi sur cet axe.

    $AD$ est donc l’axe radical, ce qui signifie que les points de concours $G, H$ sont sur $AD$ (et que $AD$ et $PQ$ sont orthogonaux)

    Document joint : idm5-4-8.jpg
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    • 5.4.8

      le 21 octobre à 18:17, par Sidonie

      Magnifique démonstration. Votre maîtrise de l’axe radical est éblouissant, sans parler de l’intervention du point E. Bravo !

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    • 5.4.8

      le 21 octobre à 20:54, par Sidonie

      Avant de tomber sur votre démonstration, j’étais partie dans une autre direction qui vient d’aboutir.

      On a déjà vu que si ABDC est circonscriptible alors la branche de l’hyperbole de foyers A et D passant par B passe aussi par C, le centre du cercle inscrit étant l’intersection entre les tangentes à l’hyperbole (en rouge sur la figure) aux points B et C (qui sont donc aussi les bissectrices en B et C).

      Tout comme vous je place P sur la bissectrice en B et trace un cercle tangent à (AB) et (BD) en J et K et coupant (AD) en G et H. Q est maintenant à l’intersection de la bissectrice en C et de la médiatrice de [GH]. Je trace le cercle de centre Q qui passe par G et H .

      Je suppose qu’il n’est pas tangent à (AC).

      Par un point on ne peut faire passer au plus que 2 tangentes à une hyperbole. (QC) et (QI) sont des tangentes à l’hyperbole passant par Q.

      Je trace les tangentes (AN) et (DM) au cercle de centre Q. Elle se coupent en R.

      En utilisant les bras de tangente et l’axe radical on démontre que ABDR est circonscriptible et donc que R est sur l’hyperbole. Or la tangente en R est aussi la bissectrice qui passe par le centre Q du cercle ce qui est impossible (3ème bissectrice) donc le cercle de centre Q est bien tangent à (AC) ( et donc aussi à (CD) )

      Document joint : fsp_5.4.8.jpg
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      • 5.4.8

        le 21 octobre à 21:47, par Hébu

        A mon tour d’applaudir ! On peut entamer le problème de deux côtés, placer un cercle tangent et montrer qu’il coupe AD là où il faut (ce que j’ai fait), ou bien à l’inverse le positionner sur AD, et montrer qu’il tangente AC — comme votre approche.

        .
        C’est assez étonnant, on a là deux solutions, qui ne se réduisent pas l’une à l’autre, qui semblent aussi respectables, avec des outils complètement différents ! Le fait de pouvoir clore une preuve de cette façon (de ces 2 façons, plutôt) doit signifier des liaisons entre toutes ces propriétés - ou bien que tous les chemins mènent à Euclide ?

        De mon côté, je suis content d’avoir réussi à vraiment utiliser l’axe radical. Je me suis longtemps questionné — à quoi ça pourrait bien servir ? Quant à votre solution, elle m’incite à creuser, côté coniques !

        .
        Sur une figure qui semblait somme toute assez banale, on a pu s’offrir deux solutions très différentes. Quel bonheur !

        .
        De quoi s’amuser, encore.

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        • 5.4.8

          le 21 octobre à 23:14, par Sidonie

          En effet, on peut s’amuser à rapprocher G et H pour obtenir un résultat, qui devient une CNS à l’aide d’une ribambelle, sur les quadrilatères circonscriptibles : les cercles inscrits dans les triangles formés par une diagonale sont tangents entre eux.

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