Figure sans paroles #5.4.8

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.4.8

    le 21 octobre 2019 à 14:04, par Hébu

    Un quadrilatère circonscriptible $ABCD$. Soit $O$ le centre du cercle inscrit. $AO, BO, CO, DO$ sont les bissectrices.

    .
    Un cercle, tangent à $AB$ et $BD$ coupe $AD$ en deux points $G, H$. Alors, il faut montrer qu’un second cercle passant par $G$ et $H$ est tangent à $AC$ et $CD$.
    .

    Puisque le cercle est tangent à $AB$ et $BD$, son centre se trouve sur la bissectrice de $B$.

    Soit donc $P$ un point sur $OB$. $J, K$ les projetés de $P$ sur $AB$ et $BD$. $PJ$ coupe $AO$ en $E$.

    Depuis $E$, $EN$, perpendiculaire à $AC$, coupe $CO$ en $Q$. $M$ projeté de $Q$ sur $CD$.

    Puisque $E$ est sur la bissectrice de $A$, les triangles $AEN$ et $AEJ$ sont égaux et $AN=AJ$.

    Partant de l’égalité $AC+BD=AB+CD$, et de $AN=AJ$, $BJ=BK$, $CN=CM$, une petite manipulation montre que $DK=DM$.

    .
    Je trace un cercle de centre $P$, tangent en $J, K$ à $AB$ et $BD$.

    Je trace un cercle de centre $Q$, tangent en $N, M$ à $AC$ et $CD$.

    Ces deux dercles vont se couper en deux points $G, H$.

    La puissance du point $A$ par rapport au cercle de centre $P$ est $AJ^2$, et $AN^2$ par rapport au cercle de centre $Q$. Et puisque $AN=AJ$, $A$ est sur l’axe radical de ces deux cercles. De même, puisque $DM=DK$, $D$ est aussi sur cet axe.

    $AD$ est donc l’axe radical, ce qui signifie que les points de concours $G, H$ sont sur $AD$ (et que $AD$ et $PQ$ sont orthogonaux)

    Document joint : idm5-4-8.jpg
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