Figure sans paroles #5.4.8

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.4.8

    le 21 octobre 2019 à 20:54, par Sidonie

    Avant de tomber sur votre démonstration, j’étais partie dans une autre direction qui vient d’aboutir.

    On a déjà vu que si ABDC est circonscriptible alors la branche de l’hyperbole de foyers A et D passant par B passe aussi par C, le centre du cercle inscrit étant l’intersection entre les tangentes à l’hyperbole (en rouge sur la figure) aux points B et C (qui sont donc aussi les bissectrices en B et C).

    Tout comme vous je place P sur la bissectrice en B et trace un cercle tangent à (AB) et (BD) en J et K et coupant (AD) en G et H. Q est maintenant à l’intersection de la bissectrice en C et de la médiatrice de [GH]. Je trace le cercle de centre Q qui passe par G et H .

    Je suppose qu’il n’est pas tangent à (AC).

    Par un point on ne peut faire passer au plus que 2 tangentes à une hyperbole. (QC) et (QI) sont des tangentes à l’hyperbole passant par Q.

    Je trace les tangentes (AN) et (DM) au cercle de centre Q. Elle se coupent en R.

    En utilisant les bras de tangente et l’axe radical on démontre que ABDR est circonscriptible et donc que R est sur l’hyperbole. Or la tangente en R est aussi la bissectrice qui passe par le centre Q du cercle ce qui est impossible (3ème bissectrice) donc le cercle de centre Q est bien tangent à (AC) ( et donc aussi à (CD) )

    Document joint : fsp_5.4.8.jpg
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