Figure sans paroles #5.5.10

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.5.10

    le 9 mars à 16:01, par Hébu

    Un quadrilatère inscriptible $ABCD$, que ses diagonales divisent en triangles. On prend les centres des cercles inscrits dans ces triangles : $E$ (triangle $ADB$), $F$ (triangle $ABC$), $G$ (triangle $BCD$) et $H$ (triangle $ACD$.

    Et alors, $EFGH$ est un rectangle.

    .

    On a déjà rencontré un rectangle, à l’occasion de la figure 5.5.5. Celui-ci a ses côtés parallèles à celui-là !

    .

    Pour garder une figure aérée, je préfère en ôter les éléments inutiles — les diagonales, les circonférences. Et puis, pour trouver les centres des cercles inscrits, deux bissectrices suffisent. Je choisis en premier lieu la bissectrice du sommet du quadrilatère (exemple, pour le triangle $ABD$, je prends $AE$, bissectrice de $\widehat{BAD}$, puis $BE$, bissectrice de $\widehat{ABD}$)

    .

    Il faut alors montrer que les points $A, E, F, B$ sont cocycliques :

    je note $a, b...$ les valeurs des angles des sommets, et $u$ la valeur de $\widehat{DBA}$ ; alors

    • $\widehat{AEB}=\pi-\widehat{EAB}-\widehat{EBA}=\pi-a/2-\widehat{DBA}/2=\pi-a/2-u/2$
    • $\widehat{CDB} = d-\widehat{BDA} = d-(\pi-a-u) = ab$ \
      $\widehat{FAB} = \widehat{CAB}/2 = \widehat{CDB}/2$ \
      $\widehat{AFB} = \pi-b/2-\widehat{FAB} = \pi-b/2-(a-b+u)/2 = \widehat{AEB}$

    .
    d’où s’ensuit la cocyclicité.
    et $\widehat{AEF}=\pi-b/2$, $\widehat{EFB}=\pi-a/2$

    De même, $\widehat{BFG}=\pi-c/2$, etc.

    .
    et enfin $\widehat{EFG}=2\pi-(\pi-a/2)-(\pi-c/2)=(a+c)/2=\pi/2$

    .
    Comme d’habitude, preuve un peu poussive — mais simple

    Document joint : idm5-5-10.jpg
    Répondre à ce message
    • 5.5.10

      le 9 mars à 23:20, par Sidonie

      Une solution à base de puissance.

      Tout comme vous je ne garde que les traits nécessaires. Tout se passe autour du côté [BC].

      E, F et G sont les milieux des arcs BC, CD et AB. H et I sont les centres des cercles inscrits dans ABC et BCD.
      Les bissectrices (BJ) et (CK) des angles $\widehat {ABC}$ et $\widehat {BCD}$ se coupent en M.

      Le but de la démonstration est le parallélisme entre (HI) et (JK) . En effet en reprenant la démonstration avec les 3 autres côtés on reconstruit le rectangle du 5.5.5 et on complète le rectangle du 5.5.10.

      E étant le milieu de l’arc BC on a EB = EC. (EG) est à la fois la bissectrice de $\widehat {BEA}$ et $\widehat {BGC}$ . Dans la symétrie d’axe (EG) B a pour image l’intersection entre (AE) et (CG) c’est à dire I puisqu’elles sont bissectrices du triangle ABC. on a donc EI = EB . La même démonstration dans BCD donne EH= EB et donc le cercle de centre E passant par B passe aussi par C, H et I.

      Les bissectrices (BJ) et (CK) passent l’une par I et L’autre par H.

      Les puissances de M par rapport à chacun des cercles donnent les égalités suivantes :

      MB.MJ = MC.MK
      MB.MI = MC.MH

      Et en divisant membre à membre MJ/MI = MK/MH d’où le parallélisme souhaité.

      Document joint : fsp_5.5.10.jpg
      Répondre à ce message
      • 5.5.10

        le 10 mars à 14:41, par Hébu

        Très jolie démonstration ! Elle fait la liaison avec le rectangle que l’on connaissait déjà — ce qui donne un peu plus d’unité à ces figures.

        Et puis, elle utilise des outils totalement différents de celle que je proposais.

        Encore une fois, que de diversité !

        Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Ressources pédagogiques