Figure sans paroles #5.5.4

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.5.4

    le 27 janvier à 21:41, par Hébu

    Je préfère me rabattre sur une figure issue de 5.5.3. Je place mon point $X$ quelque part sur la médiatrice, sans le coller en $J$ ; je complète par $DY$ et $BY$ tels que $\widehat{ADY}=\widehat{BDC}$, et $\widehat{ABY}=\widehat{CBD}$. Le point $Y$ jouit des mêmes propriétés que $X$ : la droite $(YK)$ est la médiatrice de $AC$.

    .
    Et l’enjeu de l’énigme devient : si $X$ est milieu de $BD$, alors $Y$ est milieu de $AC$. Ou encore, si $X$ et $J$ sont confondus, alors $Y$ et $K$ le sont .
    .

    $S$ (resp. $T$) est le point de concours de $CX$ et $BD$ (resp. de $BY$ et $AC$).

    .
    On peut calculer la plupart des angles de la figure (je note $a, b...$ les angles des sommets, $u=\widehat{BDC}$, $\omega=\widehat{ACB}$ on a $u+\omega=d$ ; on voit que $\widehat{AXC}=2d$, $\widehat{BSC}=d$, $\widehat{ATY}=a$, etc.).

    .
    Les triangles $DSC$ et $ABC$ sont semblables (angles en $A, D$ inscrits, en $C$ égaux par construction). De même $BSC$ et $ADC$ sont semblables ($A, B$ angles inscrits, angles en $C$ égaux à $c-\omega$).

    .
    On en déduit $DS=(AB\times CD)/AC$, $BS=(AD\times BC)/AC$, d’où $DS/BS=(AB\times CD)/(AD\times BC)$.

    De même, les triangles $ABT$ et $DBC$ sont semblables ; ainsi que $CBT$ et $DBA$. Cela fournit les égalités $AT=(AB\times CD)/BD$, $CT=(AD\times BC)/BD$, d’où $AT/CT=(AB\times CD)/(AD\times BC)$.

    De sorte que les quotients $DS/BS$ et $AT/CT$ sont égaux.

    .
    Ainsi, $X$ en $J$ (c’est à dire $X,J,S$ confondus) et $Y,K,T$ confondus sont équivalents.

    .
    Remarques : il y a d’autres propriétés curieuses (qui restent à démontrer). Ainsi $XY$ et $JK$ sont parallèles ; si j’appelle $T'$ l’intersection de la droite $DY$ avec $AC$, le triangle $YTT'$ est isocèle.

    .
    Peut-être pourrait-on mener la démonstration directement sur la figure originale (où $X$ est en $J$), par exemple en déroulant à l’envers les égalités pour arriver à la similitude des triangles et donc à l’égalité des angles ?

    Document joint : idm5-5-4-2.jpg
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