Figure sans paroles #5.5.4

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.5.4

    le 29 janvier à 15:19, par Sidonie

    Je vous propose une autre démonstration.

    J’ai commencé par vouloir utiliser un résultat mais sans trouver : si deux cordes sont parallèles elles font deux arcs égaux et donc deux angles inscrits égaux.

    Ensuite j’ai remarqué que BD est la symédiane de ABC et que si AC est est la symédiane DAB alors le problème est résolu.

    En fouillant sur internet j’ai trouvé qu’une symédiane passe par un sommet du triangle tangentiel, c’est à dire le triangle obtenu avec les 3 tangentes au cercle circonscrit.

    J’ai donc tracé les tangentes en A,B,C et D en obtenant notre vieux camarade QI HILM complété par F et G.

    En tant que médiatrices (OJ) passe par F et (OK) passe par G de même que (BD) en tant que symédiane

    Les points O,J,E,K sont cocycliques et F (ou G) à même puissance par rapport à ce cercle et au cercle circonscrit. Il suffit de prendre le triangle rectangle OBF et sa hauteur (BJ) avec une relation classique FJ x FO = FB² .

    F appartient donc à la polaire de G par rapport à chacun des cercles et vice-versa.

    Comme (JE) et (OK) se coupent en G alors (OJ) et (KE) se coupent en F.

    Or HIF est le triangle tangentiel à BDA donc (AC) est bien la symédiane.

    Document joint : fsp_5.5.4.jpg
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