Figure sans paroles #5.6.10

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.6.10

    le 18 de mayo à 18:03, par Hébu

    La suite.

    .
    Deux points $E$, $G$ sur un cercle. Des cercles de centre $E$ et $G$, $c_E$ et $c_G$ coupent le cercle initial $c$ en $A$ et $D$. $ED$ coupe le cercle $c_E$ en $J$, $AG$ coupe $c_G$ en $M$. On oublie le cercle de centre $H$ (c’est à dire qu’on définit $J$ comme l’intersection ci-dessus).

    Alors, $A, D, M, J$ sont cocycliques, et $(JM)$ et $(EG)$ sont parallèles. De plus le cercle $A,D,J,M$ a son centre en $H$.

    .
    En effet: dans le cercle $c$, $\widehat{AEJ}$ et $\widehat{DGM}$ interceptent le même arc $AD$, ils sont égaux, les triangles isocèles $EAJ$ et $GMD$ sont semblables.

    Les angles $\widehat{DMG}$ et $\widehat{AJE}$ sont donc égaux, et donc aussi $\widehat{DMA}$ et $\widehat{AJD}$ : $A,J,M,D$ sont cocycliques

    .
    Dans ce nouveau cercle, $\widehat{DJM}=\widehat{DAM}$ et dans $c$ $\widehat{DAM}=\widehat{DEG}$ : $(JM)$ et $(EG)$ sont parallèles.

    .
    Reste à montrer que le cercle qui passe par $A,J,M,D$ a son centre en $H$, milieu de l’arc $AD$ — c’est à dire qu’il est bien celui de la figure initiale.

    .
    La médiatrice de $AJ$ est bissectrice en $E$ du triangle isocèle $EJA$, elle coupe donc le cercle au milieu de l’arc $AD$. Même chose côté $GDM$: les deux médiatrices se coupent au centre du cercle, qui est donc le point $H$.

    Il est clair que le même raisonnement est valide pour les autres segments: ainsi $KL$ est parallèle à $EG$ et donc $JM$ et $KL$ sont parallèles. De même, $JK$ et $ML$ sont tous deux parallèles à $FH$.

    .
    Et puisque on a vu que $EG$ et $FH$ sont perpendiculaires, $JKLM$ est bien un rectangle.

    Document joint : idm5-6-10-2.jpg
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