Figure sans paroles #5.6.13

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.6.13

    le 9 juin à 11:26, par Sidonie

    ABCD est un quadrilatère inscrit dans le cercle de centre O. (AC)$\cap$(BD) = E. H,I,J et K sont les centres des cercles AOB, BOC, COD et DOA. Il s’agit de montrer que les droites (OE), (HJ) et (IK) sont concourantes.
    Cas particuliers : ABCD est un rectangle ou un trapèze isocèle. S’il est rectangle O et E sont confondus H,I,J et K sont sur les médianes qui se coupent en O. Si (AB)//(CD) alors H, E, O, J sont alignés et on se ramène à 2 droites sécantes.
    Cas général (AB)$\cap$(CD) = F et (AD)$\cap$(BC) = G. Les cercles (AOB) et (COD) se recoupent en L et les cercles (BOC) et (DOA) se recoupent en M . A’ et D’ sont les symétriques de A et D par rapport à O.
    (LB,LC) = (LB,LO) + (LO,LC) = (AB,AO) +(DO,DC) = (AB,AA’) + (DD’,DC) = $\frac {\pi}{2}$ - (A’A,A’B) +$\frac {\pi}{2}$ - (D’C,D’D) =
    = $\pi$ - (A’A,A’B) – (D’C,D’D) = (D’D,D’C) + (A’B,A’A) = (BD,BC) + (CB,CA) = (BD,CA) = (EB,EC)
    Ce qui prouve que E est sur le cercle (BOC) il est donc aussi sur (DOA) et L devient le point de Miquel du quadrilatère complet AECBGD dont on sait grâce à Hébu qu’il forme le triangle rectangle ELO.
    On démontre de la même façon que EMO est triangle rectangle et que E,L,O et M sont sur un cercle dont le centre est le milieu P de [EO].
    Les cercles (AOB), (COD) et (ELO) se coupent en O et L donc leurs centres H,P et J sont alignés et de manière identique I, P et K sont aussi alignés.

    Document joint : fsp_5.6.13.jpg
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    • 5.6.13

      le 9 juin à 16:33, par Hébu

      Bonjour,
      J’avoue ne pas arriver à suivre. Il doit y avoir une confusion de lettre, qui me trouble (incapable que je suis de rétablir le bon choix). Vous écrivez
      .

      (LB,LC) = ... = (EB,EC)
      Ce qui prouve que E est sur le cercle (BOC).

      .
      Pour moi, il me semble que (LB,LC) = (EB,EC) (là ok) implique que E et L sont sur un cercle passant par B et C ? Pas de liaison avec O ? Et comment en déduire qu’il est aussi sur DOA ?

      Ensuite, le quadrilatère complet. « AECBGD » C’est toujours compliqué un quadrilatère complet, qui sont les points de quadrilatère de base, qui sont les autres. Là je comprends qu’il s’agirait du quadrilatère GAEB, augmenté de C et D. L serait alors le point de Miquel correspondant aux cercles (AED), (GBD), (BEC) et (GAC). J’ai bon ?

      Toutes ces questions sont sûrement bêtes, mais je suis là dessus depuis un moment...

      .
      Merci d’avance !

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      • 5.6.13

        le 9 juin à 16:54, par Sidonie

        Pan sur le bec, en effet, je démontre que B,C,E,L sont cocycliques, de même A,D,E,L donc O n’a rien à faire dans cette affaire, et vous avez bien interprété le quadrilatère complet que j’ai toujours difficulté à nommer, je retiens votre méthode pour l’avenir. Avez-vous remarqué que la fin de la ribambelle n’est que la version droites orientées d’une propriété que vous m’avez fait découvrir sur un angle intérieur à un cercle ? Et, grand merci pour la relecture dont à l’évidence, j’ai de plus en plus besoin.

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    • 5.6.13

      le 15 juin à 17:23, par Hébu

      L’idée vient, pour une preuve alternative, de reproduire l’argumentation proposée au 5.6.14. $JH$, la ligne des centres des cercles $AOB$ et $COD$, est perpendiculaire à $OL$. Et puisque $ELO$ est un triangle rectangle, alors $EL$ et $HJ$ sont parallèles. $HJ$, coupant $OL$ en son milieu, coupe donc $OE$ en son milieu également. Même raisonnement côté $IK$, et ainsi $IK$ et $HJ$ se coupent en $P$, milieu de $EO$ (où se couperont, dans la figure suivante, les autres segments reliant les centres des mêmes cercles...).

      En fait, c’est assez troublant. Aurait-on deux fois démontré le même résultat ? La « dualité » entre les points $O$ et $E$ doit avoir une cause profonde

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  • 5.6.13

    le 9 juin à 17:10, par Hébu

    eh bien me voila au moins rassuré ! Je subodorais effectivement une confusion E/O, sans être sûr de moi. Pour ce qui est du quadrilatère, c’est toujours un casse-tête, j’ai pêché quelque part l’idée du quadrilatère complété, ça me semble précis..

    .
    Et concernant la manipulation des droites orientées, je me régale de toute nouvelle utilisation.

    Quant à ce qui concerne la relecture, j’ai passé ma vie professionnelle à demander (et proposer) des relectures, que mes collègues acceptaient rarement, ils y voyaient un risque de critique plutôt qu’une source d’entraide. Donc, je pense que nous avons tous un risque d’errements, que seule la relecture par un tiers peut corriger !

    Mais cet aparté nous éloigne d’Euclide.

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