Figure sans paroles #5.6.3

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.6.3

    le 30 mars à 12:39, par Hébu

    Là, j’ai un souci ! Ca ne marche pas.

    Je prends deux droites, sécantes en $A$. Un premier cercle coupe les droites, aux points $B, C$ et $D, E$.

    Un second cercle passe par $C$ et $E$.La figure ne semble pas lui assigner de contrainte particulière.

    Un troisième cercle passe par $B$ et $D$. Un examen de la figure semble le faire tangent à une des droites. J’ai essayé un cercle quelconque, sans succès. J’ai alors tenté de le faire tangent en $D$ — son centre sera à l’intersection de la perpendiculaire en $D$ avec la médiatrice de $BD$.

    Ce troisième cercle coupe le second en $F$ et $G$.

    .

    L’énigme consiste à montrer que $AG$ (ou peut-être $AF$) fait avec $FG$ un angle droit.

    .
    Sur la figure que j’ai faite, et refaite, ces deux angles mesurent de l’ordre de 80 degrés !

    Alors, évidemment, en déplaçant judicieusement les centres des cercles, on arrive, en tâtonnant, à des valeurs d’angles autour de 90 degrés (j’ai un cas à 90.01 que je joins).

    .
    J’imagine qu’il doit exister une condition supplémentaire, bien cachée (ou plutôt, que je n’ai pas vue) ?

    Document joint : fig563.ggb
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    • 5.6.3

      le 30 mars à 13:57, par Sidonie

      Si O est le centre du premier cercle, les deux autres passent par O. Voila la contrainte. J’ai une solution que je n’ai pas le temps de développer. Au travail !

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      • 5.6.3

        le 30 mars à 14:32, par Hébu

        Merci mille fois !

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        • 5.6.3

          le 30 mars à 20:36, par Sidonie

          J’ai d’autres notations

          D’un point E on mène 2 sécantes AB et DC au cercle de centre O. Les cercles ADO et BCO se recoupent en H.
          Il s’agit de démontrer que (EH) et (OH) sont perpendiculaires.
          Soit F et G les points d’intersections entre (AD) et (BC) d’une part et (AC) et (BD) d’autre part.
          Soit I le second point d’intersection entre les cercles ADG et BCG, dont vous démontrâmes que (IO) et (IG) sont perpendiculaires.

          Dans le quadrilatère complet EBCFDA ou ABCD sont cocycliques la droite passant par 2 points parmi E,F ou G est la polaire du troisième par rapport au cercle. chacun des points parmi O,E,F ou G est l’orthocentre du triangle formé par les 3 autres donc (EG) est perpendiculaire à (OH).

          On a aisément FG.FI = FA.FD =FC.FB =FH.FO (merci aux puissances de F)

          G,I,O et H sont cocycliques et à cause de l’angle droit en I (GO) est un diamètre et donc (GH) et (HO) sont perpendiculaires.

          (EG) et (GH) sont toutes deux perpendiculaires à (HO) donc E,G et H sont alignés.

          Document joint : fsp_5.6.3.jpg
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  • 5.6.3

    le 31 mars à 16:13, par Hébu

    Démonstration très élaborée. Il faut que je bûche tout ça sérieusement.

    Comme vous dites « au travail »...

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