Figure sans paroles #5.6.7

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Comentario sobre el artículo

  • 5.6.7

    le 27 de abril à 18:05, par Hébu

    Deux sécantes issues d’un point $A$ coupent un cercle $c_1$ en $B, C$ et $D,E$. Deux cercles, le premier $c_2$ passant par $A, D, B$ le second $c_3$ par $A, E, C$. Une troisième sécante, issue de $A$ coupe $c_1$ en $J$ et $K$, $c_2$ en $L$ et $c_3$ en $M$.

    Alors, les segments $KM$ et $JL$ ont même longueur.

    .
    On trace $MC$ et $LD$, ils se coupent en un point $P$.

    Dans le cercle $c_3$, $\widehat{CMA}=\widehat{CEA}$. Dans le cercle $c_2$, $\widehat{DLA}=\widehat{DBA}=\pi-\widehat{DBC}=\widehat{CEA}$. Les angles $\widehat{PML}$ et $\widehat{PLM}=\widehat{DLA}$ sont égaux. Le triangle $PML$ est isocèle.

    .
    Un cercle, qui passe par $C, D, G$, passe également par $O$ ($G$ est le point de Miquel du quadrilatère complet $BCEDAX$ — $X$ serait l’intersection de $CE$ et $BD$, si on la traçait). C’est un résultat du 5.6.5.

    .
    Et $P$ est sur ce cercle. En effet, $\widehat{MPL}=\pi-2*\widehat{CED}$, d’après le calcul précédent, soit $\pi-\widehat{COD}$.

    .
    Maintenant, $CD$ est une corde du cercle $ECBD$, et donc la médiatrice de $CD$ passe par $O$: les arcs $CO$ et $OD$ sont égaux. $PO$ est donc la bissectrice de $MPD$, et donc aussi sa médiatrice.

    .
    Je note $F$ l’intersection de $PO$ et $ML$: $MF=FL$. Et $KJ$ étant une corde du cercle, $KF=FJ$.

    Par différence, $KM=LJ$.
    .
    Beaucoup de ressemblances avec le précédent. Peut-être aurit-il été possible de dériver tout ou partie de cette solution de la précédente ?

    Document joint : idm5-6-7.jpg
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    • 5.6.7

      le 28 de abril à 12:19, par Sidonie

      Une autre démonstration possible , avec un résultat intermédiaire:

      Deux cercles de centre O et O’ sont sécants en A et éventuellement en B. Une droite passant par A coupe les cercles en C et D. M est le milieu de [CD] et P est le milieu de [OO’] alors le lieu de M est le cercle de centre P passant par A (et par B si les deux cercles ne sont pas tangents).

      Pour s’en convaincre il suffit de projeter orthogonalement O,O’ et P sur (AC). Les projetés de O et O’ sont les milieux de [AC] et [AB] et le projeté de P est leur milieu. L’homothétie de centre A de de rapport 2 envoie les projetés de O et O’ en C et D et leur milieu au milieu M de [CD] avec alors PM = PA.

      Sur votre figure j’ajoute N et P les centres des cercles et Q leur milieu. U et V les milieux de [BC] et [DE].

      D’après le résultat précédent U et V sont sur le cercle de centre Q passant par A. En tant que milieux des cordes (OU) et (OV) sont perpendiculaires à (AU) et (AV) et O se retrouve sur le cercle précédent (AO) étant même un diamètre.

      (OF) est perpendiculaire à (AF) donc F est aussi sur le cercle et F devient le milieu de [ML] , étant déjà le milieu de [JK] on a bien KM = LJ

      Document joint : fsp_5.6.7.jpg
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      • 5.6.7

        le 28 de abril à 18:21, par Hébu

        Bravo ! C’est LA bonne preuve du résultat. Ma démonstration fait appel à un tas d’arguments — justes je pense, mais superflus, comme des détours ! Elle passe à côté de l’essentiel. Celle-ci permet de révéler l’essence du phénomène. Tout l’art du fabricant de problème consiste à cacher la clé sous un luxe de détails, et la vraie solution est celle qui débarrasse la figure de cet habillage — ce que vous faite parfaitement ici

        C’est une très belle preuve. A mettre dans le florilège.

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        • 5.6.7

          le 28 de abril à 18:53, par Sidonie

          Il convient toutefois de conserver en mémoire vos détours, peut-être seront-ils la clé de solutions à venir ou passées. Cela s’est déjà vu.

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