Figure sans paroles #5.6.7

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.6.7

    le 27 avril à 18:05, par Hébu

    Deux sécantes issues d’un point $A$ coupent un cercle $c_1$ en $B, C$ et $D,E$. Deux cercles, le premier $c_2$ passant par $A, D, B$ le second $c_3$ par $A, E, C$. Une troisième sécante, issue de $A$ coupe $c_1$ en $J$ et $K$, $c_2$ en $L$ et $c_3$ en $M$.

    Alors, les segments $KM$ et $JL$ ont même longueur.

    .
    On trace $MC$ et $LD$, ils se coupent en un point $P$.

    Dans le cercle $c_3$, $\widehat{CMA}=\widehat{CEA}$. Dans le cercle $c_2$, $\widehat{DLA}=\widehat{DBA}=\pi-\widehat{DBC}=\widehat{CEA}$. Les angles $\widehat{PML}$ et $\widehat{PLM}=\widehat{DLA}$ sont égaux. Le triangle $PML$ est isocèle.

    .
    Un cercle, qui passe par $C, D, G$, passe également par $O$ ($G$ est le point de Miquel du quadrilatère complet $BCEDAX$ — $X$ serait l’intersection de $CE$ et $BD$, si on la traçait). C’est un résultat du 5.6.5.

    .
    Et $P$ est sur ce cercle. En effet, $\widehat{MPL}=\pi-2*\widehat{CED}$, d’après le calcul précédent, soit $\pi-\widehat{COD}$.

    .
    Maintenant, $CD$ est une corde du cercle $ECBD$, et donc la médiatrice de $CD$ passe par $O$ : les arcs $CO$ et $OD$ sont égaux. $PO$ est donc la bissectrice de $MPD$, et donc aussi sa médiatrice.

    .
    Je note $F$ l’intersection de $PO$ et $ML$ : $MF=FL$. Et $KJ$ étant une corde du cercle, $KF=FJ$.

    Par différence, $KM=LJ$.
    .
    Beaucoup de ressemblances avec le précédent. Peut-être aurit-il été possible de dériver tout ou partie de cette solution de la précédente ?

    Document joint : idm5-6-7.jpg
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