Figure sans paroles #5.6.7

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.6.7

    le 28 avril à 12:19, par Sidonie

    Une autre démonstration possible , avec un résultat intermédiaire :

    Deux cercles de centre O et O’ sont sécants en A et éventuellement en B. Une droite passant par A coupe les cercles en C et D. M est le milieu de [CD] et P est le milieu de [OO’] alors le lieu de M est le cercle de centre P passant par A (et par B si les deux cercles ne sont pas tangents).

    Pour s’en convaincre il suffit de projeter orthogonalement O,O’ et P sur (AC). Les projetés de O et O’ sont les milieux de [AC] et [AB] et le projeté de P est leur milieu. L’homothétie de centre A de de rapport 2 envoie les projetés de O et O’ en C et D et leur milieu au milieu M de [CD] avec alors PM = PA.

    Sur votre figure j’ajoute N et P les centres des cercles et Q leur milieu. U et V les milieux de [BC] et [DE].

    D’après le résultat précédent U et V sont sur le cercle de centre Q passant par A. En tant que milieux des cordes (OU) et (OV) sont perpendiculaires à (AU) et (AV) et O se retrouve sur le cercle précédent (AO) étant même un diamètre.

    (OF) est perpendiculaire à (AF) donc F est aussi sur le cercle et F devient le milieu de [ML] , étant déjà le milieu de [JK] on a bien KM = LJ

    Document joint : fsp_5.6.7.jpg
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