Figure sans paroles #6.1.4

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.1.4

    le 21 septembre à 11:57, par Hébu

    On reprend le schéma de la figure précédente, mais ça se complique puisqu’on a maintenant trois cercles.

    Deux droites parallèles, $(d)$ et $(d')$, un premier cercle, de centre $A$, tangent à $(d)$ en un point $B$ et à $(d')$ au point $C$. Un second cercle, tangent au premier en $D$, à $(d)$ en $E$, on note $F$ son centre. Et un troisième, tangent aux deux premiers en $G$ et $H$ et à $(d')$ en $I$, son centre sera $J$.

    Il s’agit de montrer que la tangente en $G$ aux cercles $(A)$ et $(J)$ coupe $(d)$ au point $E$.

    .
    Les résultats de la figure précédente (6.1.3) s’appliquent pleinement à chacun des couples de cercles : $C,D,E$ sont alignés, $B,G,I$ également, et aussi $E,H,I$ (chaque couple de cercles se conforme au 6.1.3).

    .
    Maintenant, les cercles sont tangents entre eux deux à deux, les normales aux lignes des centres en $D$, $G$, et $H$ sont les axes radicaux des couples. Ces axes ont un point de concours commun, $Z$, centre radical et donc centre du cercle inscrit du triangle $AJF$ (comme les trois mousquetaires, nos cercles sont quatre).

    Reste à montrer que $E$ est sur $GZ$.

    .
    On regarde les triangles $EDH$ et $EIC$ : ils sont semblables , ayant leurs angles égaux ($\widehat{HFE}=\widehat{HJI}$, puis $\widehat{HDE}=\widehat{CIH}=\pi-\widehat{HFE}/2$). On a donc $ED/EH=EI/EC$, soit $ED\times EC=EH\times EI$ : $E$ est sur l’axe radical des cercles de centre $A$ et $J$.

    .
    ($DZ$ passe par $I$ ; il y a d’autres cercles cachés, passant par $A,C,I,H,D$ ou $A, B,E,H,G$, ou $G,D,B,C$), etc.

    Document joint : idm6-1-4.jpg
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