Figure sans paroles #6.10.17

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.10.17

    le 18 juillet à 11:57, par Hébu

    Un triangle $ABC$. On place le point $D$, milieu de $[AC]$, puis sur $(AB)$ un point $E$, et $F$ milieu de $[AE]$.

    On pose alors $G$ sur $(BC)$ et $H$ milieu de $[GC]$. Puis $I$ milieu de $[EG]$ et $J$ milieu de $[EC]$.

    .
    Viennent des cercles. On a le choix pour les deux premiers.

    Mon choix : je trace $c_1$ passant par $F,I,J$, et $c_2$ passant par $D, H,J$. Et j’appelle $K$ l’autre intersection de ces deux cercles.

    Il faut alors montrer que les points $F,H,B,K$ sont cocycliques.

    (compte tenu de cette description, et contrairement à la figure proposée, seul le troisième cercle mérite des pointillés, si l’on se réfère aux usages de cette rubrique).

    .

    La présence des points milieux de segments fabrique des parallèles, en veux-tu en voila : $(FI)//(AG)$, $(GJ)//(AB)$, $(HD)//(AG)$, etc.

    Ce sera une histoire d’angles. On calcule $(KF,KH)=(KF,KJ)+(KJ,KH)$.

    $(KF,KJ)=(IF,IJ)=(GA,GC)=-(GB,GA)$. Et $(KJ,KH)=(DJ,DH)=(AB,AG)$.

    Dans le triangle $BAG$, $((BA,BC)+(GB, GA))+ (AG,AB)=0$

    On mélange, pour obtenir $(KF,KH)=-(GB,GA)+(AB,AG)=-(GB,GA)-(AG,AB)=(BA,BC)$ : ce qui établit la cocyclicité.

    Document joint : idm-6-10-17.jpg
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    • Autres cercles

      le 19 juillet à 17:04, par Reine

      Bravo ! Et sans supplément de prix, votre démonstration fournit bien plus que ce que suggère la figure proposée : ce ne sont pas seulement trois, pas quatre, ni même cinq, mais bien sept$\,$ cercles qui passent par le point K !

      Au lieu de partir du triangle ABC, considérez que les données sont les quatre points A, C, E et G, et que B n’apparaît que secondairement, comme intersection de AE et CG. Vous avez montré que trois cercles sont concourants : celui qui passe par les milieux de EA, EC et EG, celui qui passe par les milieux de CA, CE et CG, et celui qui passe par les milieux de AE et CG et par l’intersection de AE et CG. Il vous suffit de permuter les rôles joués par A et E pour voir — sans besoin d’argument supplémentaire — que le cercle passant par les milieux de AC, AE et AG passe aussi par K ; et de permuter C et G pour ajouter à votre tableau celui qui passe par les milieux de GA, GC et GE. Et en permutant A et G, vous voyez apparaître celui qui passe par l’intersection de AC et EG et par leurs milieux, puis, en échangeant A et C, celui qui passe par l’intersection de AG et CE et par leurs milieux.

      Ainsi, quatre cercles sont obtenus en joignant un des quatre points aux trois autres, et trois apparaissent en groupant les quatre points en deux paires.

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      • Autres cercles

        le 19 juillet à 22:00, par Hébu

        Merveilleux ! Une illustration supplémentaire d’une idée que j’avais confusément exprimée, ces figures contiennent, cachées, un tas de trésors.

        Bravo de les avoir mis à jour !

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