Figure sans paroles #6.10.20

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.10.20

    le 14 août à 11:12, par Reine

    Six cercles sur cette figure. Deux d’entre eux, en trait plus gras, sont sans point commun ; appelons-les $\,A_1$ et $\,A_2$. (Sur la figure 1 ci-jointe, ils sont extérieurs, alors que sur la figure proposée, l’un est à l’intérieur de l’autre ; cela ne change rien.) Il existe deux familles de cercles tangents à $\,A_1$ et $\,A_2$ : pour les uns, que je dirai séparants, $\,A_1$ est à l’intérieur et $\,A_2$ à l’extérieur, ou inversement ; pour les autres, non séparants, $\,A_1$ et $\,A_2$ leur sont tous deux intérieurs ou tous deux extérieurs. [1] Un cercle séparant et un cercle non séparant se rencontrent toujours. [2] On ajoute à la figure deux cercles séparants $B_1$ et $B_2$ et deux cercles non séparants $C_1$ et $C_2$. Chacun des deux cercles $B_i$ rencontre chacun des deux cercles $C_j$ en deux points $P_{ij}$ et $Q_{ij}$. La figure proposée suggère que, les six cercles étant donnés, on peut choisir, pour chaque $\,ij$, le point $\,P_{ij}$ de façon que l’intersection $\,R$ des droites $\,P_{11}P_{12}$ et $\,P_{21}P_{22}$ se trouve sur l’axe radical des cercles $\,B_1$ et $\,B_2$. Voici comment l’on peut s’en assurer. [3]

    L’appartenance de $R$ à l’axe radical de $B_1$ et $B_2$ équivaut à l’égalité des puissances\[\,\overline{\!RP_{11}\!\!\!}\,\,\,\>\,\overline{\!RP_{12}\!\!\!}\,\,\,=\,\overline{\!RP_{21}\!\!\!}\,\,\,\>\,\overline{\!RP_{22}\!\!\!}\,\,\,\;,\]c’est-à-dire à la cocyclicité des quatre $P_{ij}$. On peut maintenant oublier $R$, et pour prouver la cocyclicité, simplifier la figure au moyen d’une inversion. En prenant pour pôle d’inversion l’un des deux points d’intersection de $B_1$ et $B_2$, [4] on transforme $\,A_1$ et $\,A_2$ en deux cercles $a_1$ et $a_2$ sans point commun, $B_1$ et $B_2$ en deux droites $b_1$ et $b_2$ tangentes à $a_1$ et $a_2$ (tangentes communes intérieures, car elles séparent $a_1$ et $a_2$), et $C_1$ et $C_2$ en deux cercles $c_1$ et $c_2$ tangents à $a_1$ et $a_2$ (non séparants, car $a_1$ et $a_2$ sont tous deux intérieurs ou tous deux extérieurs à $c_1$, ainsi qu’à $c_2$). On se retrouve donc dans la situation de la figure 2, où il faut montrer que, convenablement choisis, les quatre points $p_{ij}$ sont cocycliques.

    Or cette figure a déjà été rencontrée : c’est la Figure sans Paroles 4.7.19, où l’on a vu que, en choisissant convenablement $p_{11}$ et $p_{21}$, la droite $p_{11}p_{21}$ est parallèle à l’une des tangentes communes extérieures à $a_1$ et $a_2$, et, de même, $p_{12}p_{22}$ est parallèle à l’autre tangente commune extérieure. Il est alors facile de conclure à la cocyclicité, soit par un argument angulaire, soit en utilisant le parallélisme de $p_{12}p_{22}$ avec $q_{11}q_{21}$ et la puissance par rapport à $c_1$ de l’intersection de $b_1$ et $b_2$, soit enfin en remarquant que les bissectrices des droites $p_{11}p_{21}$ et $p_{12}p_{22}$ ont mêmes directions que celles des droites $p_{11}p_{12}$ et $p_{21}p_{22}$.

    [1Lorsque $\,A_1$ et $\,A_2$ sont extérieurs l’un à l’autre (figure 1), chaque tangente commune intérieure est un cas limite de cercle séparant et chaque tangente commune extérieure est un cas limite de cercle non séparant.

    [2C’est pour cela que $\,A_1$ et $\,A_2$ ont été choisis sans point commun ; s’ils étaient sécants, un cercle séparant et un non séparant ne seraient jamais sécants.

    [3On démontrerait de même deux autres propriétés : d’une part, les droites $\,P_{11}P_{21}$ et $\,P_{12}P_{22}$ se coupent sur l’axe radical de $\,C_1$ et $\,C_2$ ; d’autre part, ces résultats subsistraient si l’on remplaçait les quatre $\,P_{ij}$ par les quatre $\,Q_{ij}$ correspondants.

    [4Ces deux cercles se coupent, car chacun des deux arcs de $\,B_1$ joignant $\,A_1$ à $\,A_2$ doit traverser $\,B_2$.

    Document joint : figure-6-10-20.pdf
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