Figure sans paroles #6.10.7

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.10.7

    le 10 mai à 08:20, par Hébu

    Deux cercles, de centres A et B, se coupent en C et D. On mène la tangente à (A) en C et la tangente à (B) en D. On note E leur intersection.

    Depuis E, on mène les autre tangentes à (A) - droite (EF) et à (B) - droite (EG).

    Les angles (EF,ED) et (EH,EC) ont même grandeur (c’est l’énigme posée)

    .
    En fait c’est équivalent à dire (EF,EC)=(ED,EG), ou (EB,ED)=(EC,EA), etc.

    — 
    1/ Les droites (EC) et (EH) forment avec le cercle (A) deux triangles semblables ECH et EDC. Et (HE,HC)=(CD,CE), soit $(HD,HC)=(CD,CJ)$ (1), et $ED/EC=DC/CH$ (2)

    Les mêmes droites (EC) et (EH) forment avec le cercle (B) deux triangles semblables EJD et EDC. Et (JD,JE)=(DE,DC), soit $(DC,DH)=(JC,JD)$ (3)

    .
    2/ On en déduit en passant que ECH et EJD sont semblables (et en particulier (CH) // (JD). Mais aussi, en vertu de (1) et (3), la similitude des triangles CHD et DCJ (angles égaux). $DC/CH=DJ/DC=CJ/DH$ (4)

    Le rapport de similitude, DJ/CD est le rapport des rayons de leurs cercles circonscrits : $DJ/DC=r_B/r_A=BD/AC$.

    .
    3/ Les triangles rectangles BDE et ACE sont semblables : en rapprochant (2) et (4), on obtient que BD/AC=ED/EC. Les angles (EB,ED) et (EC,EA) ont même valeur

    Document joint : idm-6-10-7.jpg
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