Figure sans paroles #6.2.10

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Comentario sobre el artículo

  • 6.2.10

    le 12 de enero à 00:45, par Sidonie

    Dans un cercle de centre O, on trace ce qui semble un carré, mais un losange ABCD suffit. On prolonge les côtés pour partager le cercle en 9 parties. Seules 4 n’ont pas pour frontières deux parallèles. Dans chacune on trace un cercle tangent au cercle et à deux sécantes. Sur la figure, seul le cercle du quadrant A est tracé. E, F, G et H sont les points de contacts des 4 cercles avec le cercles de centre O.
    Il s’agit de démontrer que les droites (AE), (BF), (CG) et (DH) sont concourantes.
    La construction passe par 4 losanges de côté égal au rayon du cercle de centre O, construits à partir des sécantes (voir figure). On obtient ainsi un losange IJKL, semblable à ABCD, dont le côté mesure un diamètre plus un côté de ABCD.
    Le point de contact E est l’intersection entre l’arc de cercle frontière du quadrant A et la parallèle passant par A à (IO). Cette construction est justifiée au http://images.math.cnrs.fr/-5375.html
    P est le centre du losange ABCD (et de IJKL). Dans l’homothétie de centre P qui transforme IJKL en ABCD les droites (IO), (JO), (KO) et (LO) (concourantes en O) ont pour images (AE), (BF), (CG) et (DH) qui leurs sont parallèles et sont donc concourantes en un point image de O.

    Document joint : fsp_6.2.10.jpg
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    • 6.2.10

      le 12 de enero à 11:16, par Hébu

      ? (je ne comprends pas la construction !)

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      • 6.2.10

        le 12 de enero à 12:36, par Sidonie

        Je vous accorde que la transposition un peu hâtive de la justification du carré au losange ne fonctionne pas . Les côtés du losange ne sont plus tangents au second cercle. Il faut donc trouver d’autres arguments puisque la construction donne bien le point de contact. Par contre le centre n’est plus à la même place. Avec géogébra il suffit de tracer une parabole pour le trouver. Ceci dit, si on s’en tient à la figure initiale avec carré, l’argumentation donnée au 5.5.7 est correcte. Reste à trouver une justification pour le losange.

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        • 6.2.10

          le 12 de enero à 14:33, par Hébu

          Il me faut donc retourner au 5.5.7 — j’en étais resté à une figure non résolue !

          Mais je suis inquiet, néanmoins. J’ai eu des soucis à interpréter la figure: faut-il y voir des droites parallèles, voire un carré au centre ? J’ai tenté de la tracer, avec un carré au centre, mais je n’ai pas obtenu la convergence sur le point de concours unique.

          Et en tâtonnant, j’arrive à un point de concours, mais sans parallèles, sans carré, sans rien...

          Allez, sans peur du ridicule, j’affiche mon dessin

          Document joint : idm6-2-10bis.jpg
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          • 6.2.10

            le 12 de enero à 15:51, par Sidonie

            Vous aurez la surprise de trouver en votre quadrilatère une vieille connaissance, on peut lui inscrire un cercle. En effet, en utilisant la bonne construction , qui sera visible par la suite, on peut démontrer que le concours des droites a déjà lieu avec un tel quadrilatère.

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          • 6.2.10

            le 13 de enero à 15:52, par Sidonie

            J’ajoute erreur sur erreur, avoir un QC au départ est une condition suffisante mais pas du tout nécessaire. En construisant à l’envers on trouve d’autres quadrilatères possibles.

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      • 6.2.10

        le 12 de enero à 23:58, par Sidonie

        ABCD est devenu un quadrilatère circonscriptible. Sur la figure je ne précise que ce qui se passe en A.
        Je note o le cercle de centre O et de même pour les autres cercles. On trace un cercle a de centre A et de même rayon que o. (IJ) et (IL) sont des tangentes parallèles à (AB) et (AD) avec lesquelles elles forment un losange puisque la diagonale (AI) est aussi bissectrice. On a donc l’alignement I, A et P centre du cercle inscrit dans ABCD. M, centre du cercle tangent à a, (AB) et (AD), est aussi sur cette droite.
        R est le rayon de o et a. r est le rayon de m. On a tout de suite $\frac {EM} {EO}$ = $\frac r R$
        Il existe une homothétie qui transforme a en m de rapport $\frac r R$. A a pour image M et I a pour image A, les tangentes (IJ) et (IL) ayant pour images les tangentes (AB) et (AD).
        [IA] a pour image [AM] et donc $\frac {AM} {AI}$ = $\frac r R$.
        L’égalité $\frac {EM} {EO}$ = $\frac {AM} {AI}$ montre que (IO)//(AF) ce qui justifie la construction.
        La construction en B utilise un cercle de rayon R et (IJ) devient une tangente commune puisqu’elle est parallèle à la droite des centres (AB) et en continuant avec C et D on fait apparaître IJKL quadrilatère homothétique de centre P avec ABCD. Dans cette homothétie (IO), (JO), (KO) et (LO) ont pour image (AE), (BF), (CG) et (DH) puisqu’ elles leur sont parallèles et que A,B,C,D sont les images de I,J,K,L. (AE), (BF), (CG) et (DH) sont donc concourantes en U image de O

        Document joint : fsp_6.2.10_generalise.jpg
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        • 6.2.10

          le 13 de enero à 16:04, par Hébu

          Là, je suis perdu... L’impression d’avoir raté plusieurs épisodes du feuilleton. J’essaie de tracer la figure.

          On semble partir d’un quadrilatère ABCD. Je me donne le quadrilatère. Mais, quelle relation entre les points A et O ? Quelle relation entre le rayon des cercles a et o et le quadrilatère ?

          Ensuite, je place (IJ), (IL), et la droite (AI). Le point M serait le centre du cercle m «M, centre du cercle tangent à a, (AB) et (AD), est aussi sur cette droite».

          Mais ensuite (et sur la figure), m est un cercle tangent à (AB), (AD), et o. Son tracé demande le cercle o.

          Ou bien je n’ai rien compris (j’appréhende le verdict)

          Document joint : mafigure6210.jpg
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          • 6.2.10

            le 13 de enero à 20:20, par Sidonie

            Je vous donne la construction détaillée :
            1) Tracer o un cercle de centre O
            2) Tracer deux sécantes se coupant en A
            3) Tracer a un cercle de centre A de même rayon que o.
            4) Tracer les tangentes à a parallèles aux sécantes. Elles se coupent en I.
            5) Tracer (IO) puis sa parallèle passant par A. Elle coupe o en E
            6) Tracer (OE). Elle coupe (AI) en M.
            7) Tracer le cercle de centre M passant par E, il est tangent à a et aux 2 sécantes.

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            • 6.2.10

              le 14 de enero à 16:53, par Hébu

              Ca y est, ça marche ! Merci mille fois.

              Toutes ces figures font la part belle à l’homothétie.

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            • 6.2.10

              le 15 de enero à 15:43, par Hébu

              Il me semble que le même procédé (avec une démonstration semblable à la clé) doit pouvoir s’appliquer à la figure 6.2.5 ?

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