Figure sans paroles #6.2.10

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 6.2.10

    le 12 janvier à 00:45, par Sidonie

    Dans un cercle de centre O, on trace ce qui semble un carré, mais un losange ABCD suffit. On prolonge les côtés pour partager le cercle en 9 parties. Seules 4 n’ont pas pour frontières deux parallèles. Dans chacune on trace un cercle tangent au cercle et à deux sécantes. Sur la figure, seul le cercle du quadrant A est tracé. E, F, G et H sont les points de contacts des 4 cercles avec le cercles de centre O.
    Il s’agit de démontrer que les droites (AE), (BF), (CG) et (DH) sont concourantes.
    La construction passe par 4 losanges de côté égal au rayon du cercle de centre O, construits à partir des sécantes (voir figure). On obtient ainsi un losange IJKL, semblable à ABCD, dont le côté mesure un diamètre plus un côté de ABCD.
    Le point de contact E est l’intersection entre l’arc de cercle frontière du quadrant A et la parallèle passant par A à (IO). Cette construction est justifiée au http://images.math.cnrs.fr/-5375.html
    P est le centre du losange ABCD (et de IJKL). Dans l’homothétie de centre P qui transforme IJKL en ABCD les droites (IO), (JO), (KO) et (LO) (concourantes en O) ont pour images (AE), (BF), (CG) et (DH) qui leurs sont parallèles et sont donc concourantes en un point image de O.

    Document joint : fsp_6.2.10.jpg
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