Figure sans paroles #6.2.10

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 6.2.10

    le 12 janvier à 23:58, par Sidonie

    ABCD est devenu un quadrilatère circonscriptible. Sur la figure je ne précise que ce qui se passe en A.
    Je note o le cercle de centre O et de même pour les autres cercles. On trace un cercle a de centre A et de même rayon que o. (IJ) et (IL) sont des tangentes parallèles à (AB) et (AD) avec lesquelles elles forment un losange puisque la diagonale (AI) est aussi bissectrice. On a donc l’alignement I, A et P centre du cercle inscrit dans ABCD. M, centre du cercle tangent à a, (AB) et (AD), est aussi sur cette droite.
    R est le rayon de o et a. r est le rayon de m. On a tout de suite $\frac {EM} {EO}$ = $\frac r R$
    Il existe une homothétie qui transforme a en m de rapport $\frac r R$. A a pour image M et I a pour image A, les tangentes (IJ) et (IL) ayant pour images les tangentes (AB) et (AD).
    [IA] a pour image [AM] et donc $\frac {AM} {AI}$ = $\frac r R$.
    L’égalité $\frac {EM} {EO}$ = $\frac {AM} {AI}$ montre que (IO)//(AF) ce qui justifie la construction.
    La construction en B utilise un cercle de rayon R et (IJ) devient une tangente commune puisqu’elle est parallèle à la droite des centres (AB) et en continuant avec C et D on fait apparaître IJKL quadrilatère homothétique de centre P avec ABCD. Dans cette homothétie (IO), (JO), (KO) et (LO) ont pour image (AE), (BF), (CG) et (DH) puisqu’ elles leur sont parallèles et que A,B,C,D sont les images de I,J,K,L. (AE), (BF), (CG) et (DH) sont donc concourantes en U image de O

    Document joint : fsp_6.2.10_generalise.jpg
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