Figure sans paroles #6.2.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.2.6

    le 15 décembre 2020 à 00:01, par Sidonie

    Un cercle o de centre O. 3 cordes forment le triangle A’B’C’. m, n et p sont 3 cercles de centre M, N et P tangents à 2 de ces cordes. A, B et C sont les points de rencontres des tangentes extérieures à o d’une part et m, n et p d’autres parts.
    Il s’agit de démontrer que (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes.
    Je note f(x,y) le point de rencontre des tangentes aux cercles x et y qui appartient aussi à la droite passant par les centres des 2 cercles.
    Ainsi A = f(o,m) et B = f(o,n). Je pose D = f(m,n) et on sait qu’alors A,B,D sont alignés.
    Il en sera de même pour B,C,E et C,A,F.
    Or D = f(m,n), E = f(n,p) et G = f(p,m) et sont donc alignés.
    Les triangles ABC et A’B’C’ ont les intersections de leurs côtés correspondants alignés, ils vérifient les hypothèses du théorème réciproque de Desargues et donc (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes.

    Document joint : fsp_6.2.6.jpg
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  • 6.2.6

    le 15 décembre 2020 à 15:20, par Hébu

    Bravo !

    Visiblement, la preuve ressemble à la précédente — la figure également. Mais ce n’est qu’une ressemblance. Je n’arrive pas à comprendre, j’ai encore cette impression d’un lapin qui sort du chapeau...

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    • 6.2.6

      le 15 décembre 2020 à 15:47, par Hébu

      J’ai probablement écrit le message précédent un peu trop vite. En tentant de bien comprendre, je bute sur « et on sait qu’alors A,B,D sont alignés ». Ils le sont bien sûr, mais au risque de paraître faible, je ne vois pas comment....

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      • 6.2.6

        le 15 décembre 2020 à 16:14, par Sidonie

        Dans le 6.2.3 on démontre que les intersections des tangentes communes de cercles pris 2 à 2 parmi 3 sont alignés, et ici A,B et D sont ces intersections pour les cercles notés o, m et n. C’est donc simplement du réemploi.

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