Figure sans paroles #6.2.8

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.2.8

    le 29 décembre 2020 à 10:11, par Hébu

    Une observation de la figure, oublieuse des épisodes précédents, pourrait la faire décrire comme un triangle, dans lequel des cercles tangentent les côtés, etc.

    .
    Un examen de la même figure, avec en tête les précédentes , et la remarque de Sidonie (la 6.2.4, 6.2.5, issues de 6.2.3), nous la fait voir comme un nouvel avatar de la figure 6.2.3. C’est de cette façon que je la décris :

    .
    On se donne trois cercles, de centres $A, B, C$, non sécants. Les tangentes communes aux cercles $(A)$ et $(B)$ concourent en $D$, celles de $(A)$ et $(C)$ concourent en $E$.

    Sur la figure 6.2.3, on traçait $F$, point d’intersection des tangentes de $(B)-(C)$, et il fallait établir l’alignement $D,E,F$.

    Ici, il faut montrer que les tangentes à $(B)$ issues de $E$ et celles à $(C)$ issues de $D$ forment un quadrilatère circonscriptible.

    .
    Ou encore, en notant $J$ l’intersection de $(DC)$ avec $(EB)$ : l’homothétie, de centre $E$, de rapport $EJ/EB$, envoie le cercle $(B)$ sur un cercle caché $J_1$, l’homothétie de centre $D$, de rapport $DJ/DC$ envoie le cercle $(C)$ sur un cercle caché $J_2$, les cercles $J_1$ et $J_2$ étant identiques (même rayon).

    Et cette propriété est liée au quadrilatère complet formé par les lignes des centres.

    Le cercle caché, centre $J$ existait déjà dans les figures 6.2.3, 6.2.4, etc. « Où est Charlie ? »

    .

    Maintenant, reste à prouver tout ça.

    Document joint : idm6-2-8.jpg
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  • 6.2.8

    le 29 décembre 2020 à 10:16, par Sidonie

    On trace 3 cercles, notés e, f et h, de centres E, F et H non alignés.
    Les tangentes communes à e et f se coupent en I celles de e et h en J
    De I on trace les tangentes (IL) et (IC) à h et de J, (JB) et (JM), celles de f.
    On obtient ainsi un quadrilatère ABCD complété par I et J. sans intérêt pour la suite.
    Les bissectrices de (IL,IC) et de (JB,JM) se coupent en G.

    Il s’agit de démontrer que G est le centre d’un cercle tangent à (IL), (IC), (JM) et (JB)

    Dans la suite je note (I ;H,G)l’homothétie de centre I qui envoie H en G. Dans cette homothétie l’image h est un cercle de centre G tangent à (IL) et (IC).
    (J ;H,E) suivie de (I ;E,F) est une homothétie qui envoie H en F et dont le centre K est aligné avec I et J, ce qui donne une nouvelle démonstration du 6.2.3.
    (K ;H,F) suivie de (J ;F,G) est aussi une homothétie de H vers G avec un centre sur (JK) c’est donc I.
    L’image de f pour (J ;F,G) est donc aussi l’image de h pour (I ;H,G) et elle est tangente à (JB) et (JM)

    Document joint : fsp_6.2.8.jpg
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    • 6.2.8

      le 29 décembre 2020 à 10:44, par Hébu

      J’en étais à peu près à ce point (avec des pensées un peu différentes), mais j’ai du mal à me persuader de la preuve. J’ai l’impression de « constater » que les deux suites d’homothéties coincident. Elles aboutissent au même point, mais ensuite ?

      .
      Dans mon idée, cela reviendrait à montrer que, dans un quadrilatère complet quelconque, (cf. la figure), on a

      \[ \frac{EJ}{HJ}\times \frac{IF}{IE} = \frac{IG}{IH}\times \frac{JF}{JG} \]

      Ce qui est exact — mais je n’ai vu ça nulle part !

      Document joint : fsp6-2-8bis.jpg
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      • 6.2.8

        le 29 décembre 2020 à 16:44, par Sidonie

        Tout d’abord sur la validité de la preuve : il faut prendre les images des cercles dont les centres sont les images des centres. Ainsi l’image du cercle h par (I ;H,G) est le cercle de centre G tangent à (IC) et (IL).
        Je pense avoir bien démontré que (J ; H,E) suivie de (I ;E,F) suivie (J ;F,G) est (I ;H,G) et donc que h à la même image dans les deux circuits mais dans la ribambelle cette image est aussi l’image de f par (J ;F,G) c’est à dire le cercle de centre G tangent à (JM) et (JB) et comme c’est le même cercle il a bien les 4 tangentes.
        Quand à votre relation dans le quadrilatère complet, il suffit d’appliquer Ménélaüs au triangle IFG alignement E,H et J puis au triangle IEH alignement F,G et J. En triturant tout ça on obtient le résultat.

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        • 6.2.8

          le 30 décembre 2020 à 17:18, par Hébu

          Pas de soucis, j’ai réussi à comprendre... Et à réaliser où se situait mon interrogation. C’était ce mécanisme de composition des homothéties, que ceci m’a permis de digérer (enfin j’espère !)

          Pour cette relation dans le quadrilatère, elle continue de m’intriguer, on peut effectivement la dériver de Menelaus, mais je trouve étonnant de ne l’avoir pas rencontré déjà (peut-être on ne peut rien en faire ?)

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