Figure sans paroles #6.2.9

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.2.9

    le 4 janvier à 11:28, par Sidonie

    Pas besoin de figure ; Je note a, b, c et d les 4 cercles en commençant en haut à gauche et en tournant dans le sens trigonométrique.
    Je rappelle mes notations ainsi que 2 résultats acquis :
    si x et y sont 2 cercles f(x,y) et g(x,y) sont les intersections des tangentes extérieures pour f et intérieures pour g, bien quand elles existent, et c’est le cas sur la figure.
    1) f(x,y), f(y,z) et f(x,z) sont alignés
    2) f(x,y), g(y,z) et g(x,z) sont alignés
    Il faut démontrer que les droites(f(a,c),f(b,d)), (f(c,d),f(a,b)) et (g(b,c),g(a,d)))sont concourantes.
    Je considère les triangles dont les sommets sont f(a,c), f(c,d) et g(b,c) pour l’un f(b,d), f(a,b) et g(a,d)pour l’autre.
    la droite (f(a,c),f(c,d)) passe par f(a,d) ; la droite (f(b,d),f(a,b)) passe aussi par f(a,d).
    f(c,d) et g(b,c) alignés avec g(b,d) de même que f(a,b) et g(a,d)
    f(a,c) et g(b,c) alignés avec g(a,b) de même que f(b,d) et g(a,d).
    Ainsi les côtés des triangles pris 2 à 2 se coupent en f(a,d), g(b,d) et g(a,b) qui sont alignés.
    Ils respectent les hypothèses du th réciproque de Desargues et les droites joignant les sommets correspondants sont concourantes.

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  • 6.2.9

    le 5 janvier à 12:56, par Sidonie

    Un petit remord, je poste une figure.

    Document joint : fsp_6.2.9.jpg
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    • 6.2.9

      le 5 janvier à 15:02, par Hébu

      Je me risque à en proposer une autre. L’un des attraits de la formulation de Sidonie (utiliser f(x,y) pour noter le centre d’homothétie directe des cercles x,y) est qu’elle permet d’oublier les tangentes, qui auraient, autrement, la malencontreuse tendance à encombrer le dessin et en compliquer la lecture.

      .
      Et si on oublie ces tangentes, directes ou inverses, on aboutit à la figure, nettement épurée. On pourrait également presque oublier les cercles !
      .

      J’aime bien nommer mes points : J’ai noté F,J, etc. les centres d’homothéties directes, et F’, J’, etc. les centres d’homothéties inverses.

      .
      Avec ces notations, il faut montrer la concourance (???) de (FG), (EH) et (J’K’=. Et l’attention se porte sur les triangles FHK’ et EGJ’.

      A part ça, la preuve m’impressionne...

      Document joint : fsp6-2-9bis.jpg
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