Figure sans paroles #6.3.3

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.3.3

    le 8 février à 11:32, par Hébu

    Les semaines (et les figures) se suivent, et ne se ressemblent pas : une solution, enfin !

    .

    Un triangle $ABC$, trois cercles (centres $D,E,F$), tangents aux côtés $(AB)$ et $(AC)$, etc.

    On trace les tangentes internes aux couples de cercles. On note $G$ (resp. $H,I$) l’intersection des tangentes à $(D)$ et $(E)$ (resp. $(E)$-$(F)$, $(D)$-$(F)$).

    Les droites $(AH), (BI), (CG)$ sont concourantes.

    .
    On retrouve le schéma de la figure 6.2.5 — et le mécanisme de la solution, donnée par Sidonie, que je pastiche ici. Je note $J$ l’intersection de $(AB)$ et $(DE)$, $K$ celle de $(BC)$ et $(EF)$, et $L$ celle de $(AC)$ et $(DF)$.

    .
    $J$ est le point de concours des tangentes externes des cercles $(D)$ et $(E)$ ; les points $J,E,G,D$ sont alignés, et $J$ est le centre de l’homothétie qui envoie $(E)$ sur $(D)$.

    De la même façon, $K$ est le centre de l’homothétie qui envoie $(E)$ sur $(F)$, et $L$ le centre de l’homothétie envoyant $(F)$ sur $(D)$.

    Les règles de composition des homothéties assurent l’alignement de $J,K,L$ (c’était le sujet de la figure 6.2.3).

    .
    Maintenant, $I$ est le centre de l’homothétie inverse qui envoie $(D)$ sur $(F)$, tandis que $H$ est le centre de l’homothétie envoyant $(E)$ sur $(F)$ (ou $(F)$ sur $(E)$. Et l’on sait que la composition de ces deux homothéties sera l’homothétie directe envoyant $(E)$ sur $(D)$ : les règles de composition implique que $I,H$ et $J$ soient alignés.

    De la même façon, $G,H,L$ sont alignés, et aussi $G,I,K$

    .
    On peut alors s’intéresser aux deux triangles $ABC$ et $HIG$. Leurs côtés homologues s’intersectent en $K,J,L$, qui sont alignés.

    Le résultat de Desargues assure alors la concourance des droites $(AH), (BI), (CG)$

    Document joint : idm-6-3-3.jpg
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