Figure sans paroles #6.4.3

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • 6.4.3

    le 5 avril à 15:30, par Hébu

    On se donne quatre points $A,B,C,D$ sur on cercle, de centre $O$. On note $E$ l’intersection des diagonales ($AC$ et $BD$). La perpendiculaire à $OE$ coupe $AB$ en $F$ et $CD$ en $G$.

    Il s’agit d’établir que $E$ est le milieu du segment $FG$.

    .

    Je note $H$ l’intersection de $(AB)$ et $(CD)$, et $I$ l’intersection de $(AD)$ et $(BC)$. $ABCD$, complété de $H,I$ est un quadrilatère complet inscriptible.

    .
    On a déjè rencontré cette configuration dans la figure 5.6.5 (ou peut-être avant), et on a montré que la droite qui joint le centre du cercle circonscrit au point d’intersection des diagonales est perpendiculaire avec la troisième diagonale : ici, $(OE)$ et $(HI)$ sont perpendiculaires (cf. une remarque de Sidonie : $E$ est l’orthocentre du triangle $HOI$).

    De sorte que $(FG)$ et $(HI)$ sont parallèles.

    .
    Maintenant, puisqu’on a un quadrilatère complet, alors $(HB), (HE), (HC), (HI)$ est un faisceau harmonique. $(FG)$, la parallèle à $(HI)$, coupe ce faisceau en $E$ de sorte que $E$ est le milieu de $FG$.

    Document joint : idm6-4-3.jpg
    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Ressources pédagogiques