Figure sans paroles #6.7.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 6.7.6

    le 13 septembre à 20:22, par Sidonie

    P, point d’un cercle (O) de centre O, est le centre d’un cercle (P) tangent en T à un rayon (OA) de (O). Les deux cercles se coupent en B et C. (BC) et (PT) se coupent en M.
    Il s’agit de démontrer que M est le milieu de [PT]
    (AO) et (BC) se coupent en D. (DP) coupent (OM) en H, (O) en G et P, (P) en E et F.
    On a (DM) perpendiculaire à (OP) et (PT) perpendiculaire à (OD) donc M est l’orthocentre de ODP et (OH) est perpendiculaire à (DP)
    [GP] est une corde de (O) perpendiculaire en H à un diamètre donc H est le milieu de [GP]
    D est sur l’axe radical des deux cercles, il a donc même puissance, d’où DG.DP = DT² et comme DTP est un triangle rectangle, cette relation métrique assure que (TG) est perpendiculaire à (DP).
    Dans le triangle GPT, la droite (HM) est parallèle au côté (GT) et passe par le milieu du côté [GP] donc M est le milieu du troisième côté [PT]

    Document joint : fsp_6.7.6.jpg
    Répondre à ce message
    • 6.7.6

      le 13 septembre à 21:38, par Hébu

      J’ai pris le problème daans l’autre sens : le dessin donne M milieu de PT, et j’ai cherché à montrer l’alignement C,M,B.

      .
      Je prolonge (PT) qui va couper le cercle en un point Q. Le diamètre (AO) et (PT) sont perpendiculaires, d’où on déduit que TQ et TP ont même longueur, et la puissance de M par rapport au cercle (O) sera MP*MQ=3/2(MP^2)

      .
      Si maintenant je prolonge MP dans le cercle (P), il va couper la circonférence en un point S. (MP) étant un diamètre de ce cercle TP=TS, et la puissance de M sera encore 3/2(MP^2).

      M a donc même puissance par rapport aux deux cercles, il est sur leur axe radical (BC)

      Répondre à ce message
      • 6.7.6

        le 14 septembre à 08:49, par Sidonie

        Bien vu, non seulement vous prenez la figure dans le bon sens, mais avec une démonstration bien plus simple. Bravo !

        Répondre à ce message
        • 6.7.6

          le 14 septembre à 11:34, par Hébu

          En fait, les deux raisonnements s’appuient sur l’axe radical.

          Ce qui est intéressant, c’est que, d’une figure assez simple, on tire deux arguments, par le biais de droites, de cercles, de segments, etc. Qui permettent de conclure.

          Tout se passe comme si les éléments que l’on ajoute existaient déjà dans la figure, à l’état latent. La démonstration consiste à le faire apparaître.

          C’est un peu comme si on faisait de la « gépo » — la géométrie potentielle. On va fonder un ouvroir...

          Répondre à ce message
      • 6.7.6

        le 15 septembre à 10:57, par Reine

        Si l’on cherchait à éviter les éléments potentiels, votre démonstration, dont j’admire la simplicité, pourrait être légèrement modifiée de façon à ne pas en introduire. Vérifier l’égalité des deux puissances peut en effet se faire en n’utilisant que $M$, $P$, $O$ et $T$ : écrivant chacune des deux puissances comme le carré de la distance au centre moins le carré du rayon, on est ramené à vérifier que $MP^2-PT^2$ $=$ $MO^2-OP^2$, et le second membre se simplifie par Pythagore dans les triangles $PTO$ et $MTO$.

        Mais, n’ayant rien, bien au contraire, contre la révélation des éléments latents $Q$ et $S$, je préfère nettement votre argument, plus direct et plus simple. Vous pourriez d’ailleurs le simplifier encore un tout petit chouïa : comme vous établissez que $TQ$ $=$ $TP$ et $TP$ $=$ $TS$, il n’est pas nécessaire de calculer les deux puissances : elles sont égales parce que $MP$ $=$ $MT$ et $MQ$ $=$ $MS$, sans avoir à faire la multiplication. (Et si je l’osais, je me permettrais d’observer que vous auriez ainsi évité une petite étourderie dans l’expression de ces puissances : elles sont négatives.)

        Répondre à ce message
        • 6.7.6

          le 15 septembre à 11:02, par Reine

          Autre étourderie : nous avons tous deux écrit que $TP=TS$ ; c’est bien sûr $TP=PS$ qu’il faut lire...

          Répondre à ce message
          • 6.7.6

            le 15 septembre à 12:51, par Hébu

            Bravo pour ces améliorations : effectivement, il est possible de faire plus court ! Et dire que j’étais satisfait, j’avais pour une fois une preuve légère (habituellement mes arguments sont plus conséquents) — j’ai encore du chemin à faire.

            Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Ressources pédagogiques