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• 6.8.12

  le 29 décembre 2021 à 20:32, par Reine

  De cette profusion de cercles ressortent six points de contact dont il s’agit d’établir qu’ils sont cocycliques. Sur la figure 1, je ne reproduis que cinq des sept cercles donnés, et j’ajoute deux droites, $AB$ et $CD$, qui se coupent en un point $S$. La puissance de $S$ par rapport aux quatre cercles $ABI$, $ABJ$, $CDI$ et $CDJ$ est la même, puisque c’est aussi sa puissance par rapport au cercle $ABCD$. Donc $S$ est sur l’axe radical de $ABI$ et $CDI$, qui n’est autre que leur tangente commune en $I$ ; de même, $SJ$ est tangente à $ABJ$ et $CDJ$. De plus, le triangle $SIJ$ est isocèle, les carrés de $SI$ et $SJ$ valant tous deux la puissance de $S$. Par symétrie, il existe un cercle tangent en $\,I$ à $\,ABI$ et $\,CDI$ et en $\,J$ à $\,ABJ$ et $\,CDJ$.

  Sur la figure 2, on ne voit plus que trois des sept cercles de départ, mais j’ai aussi dessiné le nouveau cercle tangent en $I$ à $ABI$ et en $J$ à $CDJ$. Les points $I$, $J$, $K$ et $L$ sont quatre des six points en jeu ; Hébu a démontré, sous la Figure sans Paroles 6.8.1, de deux façons différentes, que ces quatre points sont cocycliques.

  Avec la figure 3, on s’intéresse maintenant à $I$, $J$, $M$ et $N$, qui font aussi partie de nos six candidats ; les cercles $ABI$ et $CDJ$ sont remplacés par $ABJ$ et $CDI$, mais ça ne change pas grand chose, les démonstrations de Hébu s’adaptant sans peine à ce cas de figure. Voici par exemple ce que devient son argument angulaire. Écrivant d’une part\[\begin{array}{l}2\,(IJ,IN)=(\vec{UJ},\vec{UI})+(\vec{VI},\vec{VN})\\ \ \quad\qquad=(\vec{UJ},\vec{VN})\\ \end{array}\]et d’autre part\[\begin{array}{l}2\,(MJ,MN)=(\vec{TJ},\vec{TM})+(\vec{WM},\vec{WN})\\ \ \qquad\qquad=(\vec{TJ},\vec{TM})+(\vec{MW},\vec{NW})\\ \ \qquad\qquad=(\vec{TJ},\vec{NW})\;,\\ \end{array}\]on voit que ces quantités sont égales modulo $2\pi$. On en tire l’égalité d’angles de droites ${(IJ,IN)=(MJ,MN)}$ modulo $\pi$, qui montre que $I$, $J$, $M$ et $N$ sont sur un même cercle.

  Nous avons d’abord vu que $I$, $J$, $K$ et $L$ sont cocycliques, puis $I$, $J$, $M$ et $N$ ; il ne reste qu’à tout mettre ensemble. En permutant les rôles (figure 4), le cercle $IJMN$ devient $LNIK$ ; donc, non seulement $J$, mais aussi $N$ est sur le cercle $IKL$, ainsi enfin que $M$, qui y rejoint $I$, $J$ et $N$.

  Document joint : figure-6-8-12.pdf
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