Figure sans paroles #6.8.7

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • Du côté de chez Bistraque

    le 24 novembre à 07:57, par Reine

    Après mon petit éloge de la complémentarité des approches (sous la Figure sans Paroles 6.8.5), vous ne vous étonnerez pas de me voir exposer ici l’autre démonstration, celle qui se tient dans l’univers inverse où nous a conviées Bistraque.

    La partie haute de la figure ci-jointe reprend le dessin qui nous est proposé par le site. Notre but est la concurrence en un même point des trois droites rouges, qui joignent les trois points a, b et P aux centres des trois cercles (c), (d) et (e). Une inversion de pôle P nous emmène dans un autre monde, celui du bas de la figure (où j’ai remis un autre point P bien que ce soit en fait le même qu’en haut ; sa position, d’ailleurs, importe peu). Les points a et b sont devenus A et B, les cercles (c), (d) et (e) sont devenus (C), (D) et (E), et j’appelle C, D et E les centres de ces cercles (ce ne sont pas les inverses des centres de (c), (d) et (e)).

    Que sont les trois droites rouges devenues ? Celle qui joint P au centre de (e) est devenue, en bas, la droite PE ; celle qui joint a au centre de (c) est devenue le cercle passant par P et A et orthogonal au cercle (C) ; et la troisième, le cercle passant par P et B et orthogonal à (D). Il s’agit de s’assurer que cette droite et ces deux cercles ont un point commun autre que P ; autrement dit, que la droite PE est l’axe radical de ces deux cercles, ou encore que$\,$ E a la même puissance par rapport à ces deux cercles.$\,$

    Or, pour un cercle passant par A, dire qu’il est orthogonal à (C) équivaut à dire qu’il passe aussi par le pied H de la polaire de A par rapport à (C). Ce point H est sur la droite AC, et il se trouve que le point E est lui aussi sur la droite AC. [1] La puissance de E par rapport à tout cercle passant par A et orthogonal à (C) est donc — EA EH. De même, en appelant K etc. etc., la puissance de E par rapport à tout cercle passant par B et orthogonal à (D) vaut — EB EK. Une symétrie de la figure du bas donnant EB = EA et EK = EH, les deux puissances sont les mêmes.

    On pourrait s’arrêter ici, mais il est tentant de mettre à profit l’autre symétrie de la figure du bas, pour en retirer, dans la figure du haut, un petit bénéfice. Introduisons les points A’ et B’ et le petit cercle (F) (figure du bas). Par symétrie, sans rien avoir à redémontrer, nous savons que son centre $\,$F est sur l’axe radical de tout cercle passant par $\,$A’ et orthogonal à $\,$(C) et de tout cercle passant par $\,$B’ et orthogonal à $\,$(D). Appliquons cela aux cercles passant par P, et revenons au monde du haut : nous avons démontré que trois nouvelles droites sont concourantes. Il s’agit des droites vertes joignant, l’une, a’ au centre de (c), la seconde, b’ au centre de (d), et la troisième enfin, P au centre du petit cercle sans nom coincé au centre de la figure, car c’est l’inverse du cercle (F).

    [1Il y a sans doute une raison profonde qui explique cela sans calcul ; je me suis bêtement contentée de vérifier que le rayon du petit cercle $\,$(E) est précisément le quart du rayon des quatre cercles alignés, puis d’appliquer Thalès.

    Document joint : figure-6-8-7.pdf
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