Figure sans paroles #6.9.2

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • La voici.

    le 1er février à 16:54, par Reine

    Tout à fait d’accord avec Hébu : les extrémités des cordes qu’il faut choisir sont celles situées sur l’une des tangentes communes aux deux cercles. Mais une ambiguïté subsiste cependant : une fois fixés les deux cercles et une tangente commune, la construction proposée par Hébu nous permet de trouver, dans chacun des deux cercles, deux$\,$ cordes ayant leurs milieux sur l’autre cercle. On ne pourra pas choisir arbitrairement une des cordes dans chaque cercle, la propriété illustrée sur cette Figure sans Paroles n’étant vraie que pour deux des quatre choix possibles. La démonstration ci-dessous vous en convaincra, j’espère, bien mieux que mon verbiage.

    On se donne donc les deux cercles $C_1$ et $C_2$, de centres $O_1$ et $O_2$, tangents en $T_1$ et $T_2$ à un même droite ; appelons $P$ l’intersection des droites $O_1O_2$ et $T_1T_2$ (voir la figure jointe). Suivant le conseil de Hébu, introduisons aussi les cercles $D_1$ et $D_2$ de diamètres respectifs $T_1O_1$ et $T_2O_2$.

    L’homothétie de centre $P$ qui envoie $T_1$ sur $T_2$ envoie aussi $O_1$ sur $O_2$ et donc le cercle $C_1$ (de centre $O_1$ et de rayon $O_1T_1$) sur $C_2$, et le cercle $D_1$ (de diamètre $O_1T_1$) sur $D_2$. L’inversion de pôle $P$ qui échange $T_1$ et $T_2$ échange aussi $C_1$ et $C_2$ (car ils sont homothétiques) ainsi que $D_1$ et $D_2$ (pour la même raison). Elle échange donc les intersections ${D_1\cap C_2}$ et ${D_2\cap C_1}$. Mais (suivant Hébu) les deux points $A_1$ et $B_1$ formant ${D_1\cap C_2}$ sont les milieux de cordes de $C_1$ qui nous intéressent ; et, de même, les deux points $A_2$ et $B_2$ formant ${D_1\cap C_2}$ sont les milieux de cordes de $C_1$ que l’on considère. On peut donc nommer ces quatre points de façon que $A_1$ et $A_2$ d’une part, et $B_1$ et $B_2$ d’autre part, se correspondent par l’inversion.$\,$ (Sur la figure ci-jointe, pour plus de lisibilité, je n’ai noté ni $B_1$ ni $B_2$.) Puisqu’une même inversion échange $A_1$ et $A_2$ ainsi que $T_1$ et $T_2$, ces quatre points sont cocycliques. Et il en va bien sûr de même de $B_1$, $B_2$, $T_1$ et $T_2$, ainsi d’ailleurs que de $A_1$, $A_2$, $B_1$ et $B_2$.

    Document joint : figure-6-9-2.jpg
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