Figure sans paroles #6.9.2

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 6.9.2

    le 7 février à 21:18, par Hébu

    Une autre tentative, qui fait appel à l’homothétie. Je suspecte qu’elle a à voir avec la solution de Reine, mais je ne sais pas trop comment. A regarder...

    .
    Deux cercles, de centres $O_1$ et $O_2$, tangents en $T_1$ et $T_2$ à une même droite. Le point $P$ est l’intersection de $(T_1T_2)$ avec $(O_1O_2)$.

    $P$ est le centre de l’homothétie qui envoie le cercle $(O_1)$ sur $(O_2)$.

    .

    Je note $(D_1)$ le cercle ayant pour diamètre $O_1T_1$. $A_1$ est l’intersection de $(D_1)$ avec $(O_2)$.

    Je note $(D_2)$ le cercle ayant $O_2T_2$ comme diamètre, et $A_2$ et $F$ les intersections de $(PA_1)$ avec ce cercle. $F$ est le point homothétique de $A_1$ de sorte que $(A_1P,A_1T_1)$=$(FP,FT_2)$.

    (Attention, à ce point $A_2$ n’appartient pas à $(O_1)$.)

    .
    $PA_2T_2$ et $PT_2F$ sont semblables et $(FP,FT_2)=(T_2A_2,T_2P)$.

    Ce qui prouve la cocyclicité des points $(T_1,T_2,A_2,A_1)$.

    .
    Reste à établir que le point $A_2$ est bien sur le cercle $(O_1)$.

    .
    $(A_1P,A_1T_2)=(T_1A_2,T_1P)$ à cause du cercle qu’on vient de justifier. Et, les triangles $PA_1T_2$ et $PT_2C$ étant semblables, $(A_1P,A_1T_2)=T_2C,T_2P)$.

    $T_2C$ et $T_1A_2$ sont donc parallèles, ce qui fait de $C$ l’image de $A_2$ par l’homothétie de centre $P$, et qui place ainsi $A_2$ sur le cercle $O_1$.

    .
    J’espère ne pas m’être emmêlé.

    Document joint : idm-6-9-2-1.jpg
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