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Figure sans paroles #8.1.2

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre d’Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

À vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 8.1.2

    le 14 mars à 09:11, par Reine

    Étant donnés deux points $A$ et $O$ et une droite $D$ perpendiculaire à $AO$, considérons, pour tout point $M$ du plan, le cercle passant par $A$, par $M$ et par le symétrique $M'$ de $M$ par rapport à $D$. Son centre étant sur la médiatrice $D$ de $MM'$, il passe aussi par le point $A'$ symétrique de $A$ par rapport à $D$. La puissance de $O$ par rapport à ce cercle est donc $p$ = $\,\overline{\!OA\!}\,\,\,\overline{\!O\smash{A'}\!\!}\,\,$, de sorte que le cercle passe également par le point $N$ de la droite $OM$ tel que $\,\overline{\!OM}\,\,\overline{\!ON}$ = $p$.

    C’est ce mécanisme qui est (trois fois) à l’œuvre dans la figure proposée ci-dessus. On y voit un triangle $ABC$ (qu’il faut supposer équilatéral) de centre $O$, un point $M$, et trois cercles, dont l’un passe par $A$, par $M$ et par le symétrique de $M$ par rapport à $BC$. L’argument ci-dessus montre qu’il passe aussi par le point $N$ de $OM$ tel que $\,\overline{\!OM}\,\,\overline{\!ON}$ prenne une valeur $p$, ici égale à $-2\,OA^2$. Les deux autres cercles sont définis à partir de $M$ de façon analogue, en permutant les sommets du triangle ; insensible à ces permutations, le point $N$ est commun aux trois cercles.

    Document joint : figure-8-1-2.pdf
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