Figure sans paroles #8.1

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre d’Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

À vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 8.1

    le 5 décembre 2022 à 16:36, par Hébu

    Un dodécagone régulier, je nomme $A$ un sommet. Je nomme $B$ le 4ème sommet à partir de $A$, dans le sens horaire. Je propose d’écrire ceci $B:A+4$. Je nomme $C:A+1$ (le somme immédiatement adjacent à $A$), puis $D:A+6$ et $F:A+9$ — ou encore $A-3$.

    .
    Alors, les diagonales $AB, CD$ et $EF$ sont concourantes.

    .
    Je note $P$ l’intersection de $(CD)$ et $(EF)$.
    .
    Je note $w=\pi/12$. C’est l’angle sous lequel un sommet voit un côté du polygone (côté vu comme une corde du cercle circonscrit).

    $CPE$ équilatéral puisque $(CP,CE)=4w=\pi/3$, etc., $PFC$ aussi.

    $(AD)$ est un diamètre du cercle circonscrit, donc $(CA,CP)=\pi/2$, $CA=CE=CP$.

    donc $CAP$ est un triangle rectangle isocèle, $(AP,AC)=\pi/4$
    Comme $(AB,AC)=3w=\pi/4$, $(AP,AC)$ et $(AB,AC)$ sont confondus, $A, P, B$ alignés.

    Document joint : idm8-1.jpg
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    • 8.1

      le 10 décembre 2022 à 12:02, par Hébu

      (d) diamètre perpendiculaire à CE
      E symétrique de C par rapport à (d), D et F symétriques. C’est à dire (CD) et (FE) symétriques. leur intersection P est donc sur (d).

      On peut aussi marquer les sommets G:A-1 et H:A+3. $(GH)$ et $(AB)$ sont symétriques par rapport à $(d)$, et leur intersection est le point P : on a ainsi 4 diagonales passant par P.

      Document joint : idm8-1bis.jpg
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  • Bissectrice (idée de Reine !)

    le 29 décembre 2022 à 15:22, par Hébu

    Beaucoup plus simple — et même élémentaire, mon cher Watson — cf la remarque faite par Reine en 8.4 : AB, CD et EF sont les bissectrices du triangle ADE

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