Commentaire sur l'article

• 8.9

  le 30 janvier à 21:19, par Hébu

  On a affaire à un icosikaitetragone, puisque notre polygone a a 24 côtés ! Et une énigme plus douce que la précédente.

  On choisit un point qu’on appelle $A$. On place $B$, diamétralement opposé sur le cercle circonscrit. Puis $C$ et $D$ qu’on repèrera par $B-3$ et $B+3$. Enfin, $E:B-1$, $F:B+7$, $G:B+1$ et $H:B-7$.

  Et $AB$, $CD$, $EF$, $GH$ sont concourants.

  .
  $(AB)$ est un diamètre, les points $C$ et $D$ sont symétriques par rapport à ce diamètre, donc la corde $CD$ est perpendiculaire à $AB$. On appelle $P$ l’intersection de ces deux diagonales.

  $O$ est le centre du cercle circonscrit, on pose comme précédemment $w=\pi/n$ — ici $n=24$ et $(OB,OC)=6\pi/24=\pi/4$ : $POC$ est un triangle rectangle isocèle, de sorte que $P$ est sur la médiatrice de $OC$.

  Le calcul des angles montre que $OCH$ et $OCG$ sont deux triangles équilatéraux, $G$ et $H$ sont sur la médiatrice de $OC$ : $H, P, G$ sont alignés.

  $EF$ et $GH$ sont symétriques par rapport à $AB$ : $EF$ passe donc aussi par $P$.

  Document joint : idm8-9.jpg
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• 8.9

  le 1er février à 12:43, par Hébu

  On peut essayer l’utilisation des lignes trigonométriques. On écarte $EF$, pour conserver $AB, CD, GH$. (l’intersection avec $EF$ suivra de la symétrie). On a donc la suite des intervalles $A-H-C-B-G-D-A$, soit 5,4,3,1,2,9 : la relation de 3-intersection s’écrit
  \[ \sin{5w}.\sin{3w}.\sin{2w}=\sin{4w}.\sin{w}.\sin{9w} \]

  Avec $w=\pi/24$. Une méthode expéditive consistera à utiliser les formules d’Euler ($\sin{u}=(e^{iu}-e^{-iu})/2i$). En effectuant les produits, en simplifiant, la relation se réduit à $\sin{14w}=\sin{10w}$.

  Relation valide si $w=\pi/24$ : c’est à dire pour notre polygone. Ouf !

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