Commençons par des miroirs. Voilà, pour aller d’un point à un autre sur une même rive, par bateau, en devant faire escale sur l’autre rive, en un point laissé au libre choix, quel trajet choisir pour minimiser la distance parcourue ?
Ce problème est résolu par la lumière : imaginez-vous devant un miroir, à regarder l’image miroir d’une personne à vos côtés.
Et qu’en serait-il pour un nombre de traversées imposées plus grand que 2 ? Pour 3 ou 4 par exemple. Là encore, les miroirs peuvent aider, pensez donc à en imaginer un dans votre dos, parallèle au premier. Nous voilà plongés dans le domaine de la recherche du plus court chemin, celui du calcul des géodésiques en d’autres termes.... Restons-y !

Prenez maintenant une grande feuille de papier et fabriquez donc un grand cône en recollant les deux côtés d’un secteur angulaire d’ouverture légèrement inférieure à l’angle droit. On peut utiliser aussi un cône plastique utilisé pour les activités sportives ou les chantiers : jetez un œil sur la photo. Maintenant, avec un bout de ficelle, faites une fois le tour de ce cône et tendez un peu. Une situation d’équilibre se crée. Recommencez en faisant cette fois-ci deux tours de cône. Tendez, l’équilibre s’installe. Essayez donc avec 3 tours !

On aurait pu croire que plus il y a de tours et plus la situation est « stable », il n’en est rien ! À partir de 3 tours, la ficelle fuit vers le sommet. (Parfois, c’est 4 tours... ou seulement 2.)

Pouvez-vous trouver le lien entre le nombre critique de tours
et la géométrie de ce cône (son angle au sommet) ?

Cela me fait penser à un autre angle critique à propos de fil enroulé sur une bobine. C’est le problème
du rembobinage du fil à coudre en tirant sur la bobine, oui, en tirant !
Effectivement, faites cette expérience-là, tirez sur une bobine de fil, horizontalement, le fil sortant par le bas et vous verrez. Vous trouverez peut-être aussi amusant de calculer le fameux angle critique à partir duquel, en remontant un peu l’inclinaison de traction, la bobine ne s’enroule plus. Peut-être même vous irez jusqu’à en déduire le coefficient de frottement de votre bobine sur la table....

Avez-vous d’autres exemples de ce type (avec de la ficelle) un peu surprenants, mais après coup, faciles à comprendre avec des maths élémentaires ?

Les mathématiques sont partout où on veut bien les voir.