A double sunset date

Rendez-vous le jour des deux couchers de Soleil

Piste noire Le 8 juillet 2014  - Ecrit par  Jean-Philippe Uzan Voir les commentaires (1)

Que fait le directeur adjoint de l’IHP quand il n’est pas dans son bureau et qu’il voyage à l’étranger ? Beaucoup de choses mais par exemple élaborer une stratégie pour observer deux couchers de soleil le même soir. Un peu de trigonométrie et d’astronomie nous montrent qu’il n’est nul besoin de voyager sur Tatooine pour cela.

S’occuper de la direction d’un institut tel que l’Institut Henri Poincaré (IHP) demande de savoir se préserver quelques espaces de liberté pour continuer à faire de la recherche. Il est facile d’essayer de bloquer une journée par semaine, mais les sollicitations quotidiennes, le flot de mails et des petites situations à démêler sont souvent un frein.

La solution est alors simple : disparaître pendant quelques semaines à l’étranger.

Depuis 15 ans, le Cap en Afrique du Sud est devenu mon havre et j’aime y jeter l’ancre régulièrement. Comme souvent dans la vie, c’est une rencontre qui est à l’origine de cette histoire ; celle avec George Ellis, un des plus grands spécialistes de la relativité générale et de la cosmologie théorique dont les ouvrages m’ont nourri pendant mon enfance scientifique. C’est donc avec plaisir que je rejoins ce bout du monde à quelques kilomètres du Cap de Bonne Espérance pour prendre mes quartiers de printemps à UCT, University of Cape Town, lové sur le flanc Est de Table Mountain sous l’œil protecteur de Devil’s Peak.
Ces visites annuelles [1] et le fait d’y avoir vécu pendant presque deux ans m’ont permis de voir évoluer ce pays par le prisme de cette université. C’est ainsi qu’en 2003 a été fondé à Muizenberg, une ville à une vingtaine de kilomètres du Cap surtout connue pour son spot de surf, le premier centre AIMS, African Institute for Mathematical Sciences. Le but de ces centres est d’accueillir des étudiants venant de tous les pays d’Afrique afin de leur offrir un enseignement, principalement donné par des experts mondiaux, leur permettant de continuer sur une thèse en mathématiques ou physique théorique. Depuis, ces centres se multiplient et il en existe déjà 4 en Afrique, à Mbour au Sénégal, à Biriwa au Ghana. Le centre de Limbe au Cameroun a été inauguré cette année. 560 étudiants, dont 30% de femmes, venant de 38 pays africains sont déjà diplômés d’un centre AIMS. Pour l’instant 55 d’entre eux ont soutenu une thèse et 233 un master de recherche. L’IHP a un lien étroit avec ce réseau de centres de formation. Cédric Villani s’est fortement impliqué dans leur développement et enseigne régulièrement dans le centre de Mbour au Sénégal. Nous avons tous les deux fait partie de son comité scientifique et je me rends régulièrement dans le centre de Muizenberg.

Vous connaissez maintenant le cadre. L’océan Atlantique, la montagne de la Table, la colline de Signal Hill et le pic de Lion’s Head qui dominent le port et les villes de Camps Bay, Hout Bay le long de la côte. Notre histoire commence ainsi à la terrasse d’un café au bord de la mer. Je suis en compagnie de deux étudiants et nous profitons du coucher de soleil pour continuer à discuter les calculs de la journée.
Les équations s’entremêlent avec des digressions sur le coucher de soleil et glissent lentement sur la vie. L’un des étudiants nous raconte ses déboires sentimentaux et la difficulté qu’il a à inviter une certaine jeune fille qui lui plait pour « a date » [2]. Je lui suggère, sans trop réfléchir, de l’inviter pour un « double sunset date ».


— Un quoi ?
— Eh bien invite-la à boire un verre et promets-lui de pouvoir observer deux fois le coucher de soleil dans la même soirée. Quoi de plus romantique ?
— Et tu fais comment si elle accepte ?
— Allez, vous êtes des physiciens. Vous ne voyez pas comment faire ?
— Non.
— Commençons par un petit exercice préliminaire. Vous pouvez calculer la distance des bateaux qui disparaissent à l’horizon ?

La distance des bateaux à l’horizon

La Terre est ronde. On le sait depuis les Grecs. Son rayon a été mesuré pour la première fois par Eratosthène au IIIème siècle avant notre ère. Notre connaissance de la forme de notre planète a beaucoup évolué. C’est un géoïde aplati aux pôles. Faisons simple et supposons que c’est une sphère de rayon $R_T = 6 370$ km [3].
Nous sommes au bord de l’eau, à une altitude zéro par définition et nous observons un bateau dont la hauteur du mât est $h$. La question est de déterminer la distance du bateau quand le mât disparaît sous l’horizon.
La lumière se propage en ligne droite [4] (je préfère le préciser car il y a parmi nous un relativiste et ces gens-là avancent parfois des idées courbes sur la propagation de la lumière - nous y reviendrons plus tard). La situation est résumée par la figure 1.

PNG Figure 1 : Un objet de hauteur $h$ se trouve à une distance $\ell$ quand il disparaît à l’horizon. L’angle α est alors donné par \[\cos\alpha=\frac{R_T}{R_T+h}\] et l’arc de cercle par $\ell=R_T\alpha$ ce qui donne le résultat.

Dans la pratique, $h$ est petit devant le rayon de la Terre, si bien que l’angle $\alpha$ est petit. On peut donc faire l’approximation que $\alpha\simeq\sin\alpha$. On en déduit alors que $\alpha^2\simeq \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-R_T^2/(R_T+h)^2=(2R_Th+h^2)/(R_T+h)^2$. En négligeant $h$ devant $R_T$ dans le numérateur et le dénominateur de cette dernière expression, on en déduit que
\[\alpha=\sqrt{\frac{2h}{R_T}}.\] En mettant des nombres, on trouve alors \[h=10 \quad\text{m}\] \[ l = \text{env} \quad 11,3 \quad \text{km}.\] Ainsi, un objet de 10 mètres de haut peut se voir à environ 11km.


— Très bien, je vois que vous n’êtes pas trop rouillés avec votre trigonométrie de base !
— Mais nous ne sommes jamais vraiment au raz du sol. On peut aussi monter en haut d’une montagne. Cela doit modifier le résultat.
— En effet, mais c’est le même problème deux fois. Regardez la figure 2.

PNG - 70.4 ko

Figure 2 : Si nous sommes maintenant sur une montagne de hauteur $H$, on voit le bateau disparaître à l’horizon quand le rayon qui joint notre œil au sommet du bateau est tangent à la Terre.
On peut alors calculer les angles $\alpha_1$ et $\alpha_2$ comme dans le cas précédent. La distance du bateau est ainsi $\ell=\ell_1+\ell_2$ et il suffit d’utiliser deux fois la formule établie précédemment.

La formule est une bonne approximation tant que $h$ et/ou $H$ sont plus petits que 1 000 km, donc pour toute application réaliste sur la Terre. En utilisant la formule exacte, on trouve que la distance sature à la longueur d’un quart de méridien terrestre, 10 000 km. [5]

Figure 3 : Evolution de la distance de l’horizon est fonction de la hauteur d’observation.
En rouge la formule approchée, en bleu la formule exacte.

PNG - 31.3 ko

Le « double sunset date », c’est possible. Oui, mais où ?


— Ces histoires de bateaux et d’horizon, c’est très joli mais je ne vois pas en quoi c’est relié au double coucher de Soleil.
— Juste un petit échauffement. C’est presque la même chose, non ? Dans un coucher de Soleil, le Soleil disparaît au-dessous de l’horizon et le moment auquel cela se passe dépend de la position de l’observateur. Regardez ce petit dessin (figure 4) : un observateur B, à une altitude $h$ au-dessus du sol voit le soleil au-dessus de l’horizon alors qu’il se couche pour A. Pour faire le calcul de la hauteur $h$ minimum, il faut connaître l’angle α. C’est le diamètre angulaire du Soleil. Vous connaissez sa valeur ?
— Non.
— C’est bon à connaître !

Pour le calculer, il faut savoir que c’est l’angle sous lequel on observe le diamètre du Soleil depuis la Terre. Comme il est petit $\alpha\sim\tan\alpha$ et $\tan(\alpha/2)=\frac{d_\odot}{2D_{TS}}$ [6] si bien que
\[\alpha\sim \frac{d_\odot}{D_{TS}}\]
Comme la distance Terre-Soleil change au cours de l’année, il en est de même du diamètre apparent du Soleil. Mais en prenant les valeurs moyennes, $d_\odot\sim1\,390\,000$ km et $D_{TS}\sim150\,000\,000$ km, on trouve environ α=0,5°. Cela correspond à 32’ ou encore à 0,0087 radian.

PNG - 63.4 ko

Figure 4 : Deux observateurs sont situés respectivement au niveau de la mer (A) et à une altitude $h$ (B). Alors qu’à l’instant $t$ le soleil se couche pour A, i.e. le Soleil passe sous l’horizon, il reste au-dessus de l’horizon pour B. Comme la Terre tourne, B verra le Soleil se coucher à un temps $t' >t$, donc après A.

Si l’on veut voir le coucher de Soleil deux fois dans la même soirée, il faut d’abord déterminer la hauteur $h$, qui dépend du rayon de la terre $R_T$ et du diamètre angulaire du Soleil $\alpha$, puis le temps qui sépare le coucher de Soleil vu de A et celui vu de B (c’est-à-dire $T=t'-t$, quantité qui va dépendre de la vitesse de rotation de la Terre).

Connaissant $h$ et $T$, on pourra déterminer les conditions d’observation rendant le « double sunset date » possible, i.e. la hauteur de la montagne et si il est possible de monter à son sommet suffisamment rapidement.

Pour répondre à la première question et calculer $h$, considérons le petit schéma de la figure 5 qui, pour simplifier le raisonnement, ne respecte pas les échelles.

PNG - 111.3 ko

Figure 5 : la hauteur $h$ sur un même méridien à laquelle il faut se placer pour que la fin du coucher du soleil vu de A soit simultanée du début du coucher vu de B. $\alpha$ est fixé si bien que $h$ doit s’exprimer en fonction de $\alpha$ et $R_T$. L’angle $\beta$ est égal à la moitié de l’angle (OA,OC).

BC est tangente à la Terre en C si bien que l’angle 2β est donné par le calcul détaillé à la figure 1, en considérant le triangle ACB. Vous voyez que ça servait, mes histoires de bateaux ! Ainsi,
\[\cos 2\beta=\frac{R_T}{R_T+h}.\]
Je vous accorde qu’il y a plus simple pour trouver l’angle β. En effet, en remarquant que AO étant perpendiculaire à AI et OC à BC, alors 2β=α ! Mais bon, j’aime beaucoup les horizons [7], c’est une déformation professionnelle de relativiste général.

En exprimant AI dans le triangle OAI et dans le triangle ABI, tous deux rectangles en A, on obtient que
\[\frac{h}{{\rm tan}\alpha}=R_T\tan\beta.\]
L’angle $\alpha$ est fixé, puisque c’est le diamètre apparent du Soleil et nous avons vu plus haut qu’il est petit, si bien que $\tan\alpha\sim\alpha$ et donc $\tan\beta\sim\beta=\alpha/2$.
$h$ est déterminé par $\alpha$ est alors petit devant le rayon de la Terre. Ainsi,
\[h\sim\frac{1}{2}\alpha^2R_T.\]
Numériquement, cela donne $h$ de l’ordre de 243 mètres ! Ça vous convainc ?
En fait, pour être réaliste, il faudrait tenir compte de la réfraction atmosphérique, venant du fait que la lumière ne se propage pas en ligne droite dans un milieu de densité variable. Cela a pour effet de retarder le coucher et d’aplatir le disque solaire. Quand ce dernier touche la ligne de l’horizon, la position réelle de son centre est à 19 minutes d’arc en dessous de l’horizon. On a ainsi un écart angulaire de centre à centre dû à la réfraction de presque 32 minutes d’arc. L’aplatissement se produit de façon différentielle entre le haut et le bas du disque.


— Arrête ton cours d’astro ! Ce qui nous intéresse c’est l’ordre de grandeur. [8]
— On est d’accord avec ton calcul, mais il faut tout de même avoir le temps de monter en B, avant que le soleil ne se couche pour B.
— Cela se calcule. Il suffit de savoir à quelle vitesse tourne la terre.
— 1 tour en 24 heures. Soit 360° en 24 heures donc 15° par heure.
— Donc, B verra le soleil se coucher quand la terre aura tourné de 2β, soit 0,5° ce qui correspond à un temps de 2 minutes. Jouable !
— Tu veux dire qu’on commence par regarder le coucher du Soleil au niveau de la mer, qu’ensuite on monte 243 mètres en moins de 2 minutes….
— … ou 486 en moins de 4 minutes…
— et que l’on peut alors profiter du coucher une seconde fois ?
— Exact !
— Quel nerd !
— Je ne suis pas le seul. Par exemple, Le Département des Affaires Islamiques de Dubaï a publié une règle selon laquelle les locataires résidant au-dessus du 80ème étage du Burj Khalifa devaient décaler les heures de début et de fin du ramadan de 2 ou 3 minutes [9].

Vous imaginez que je ne vais pas vous donner le fin mot de cette aventure sentimentale. Pour information, le téléphérique de Table Mountain [10] au Cap monte de 363 m à 1067 mètres d’altitude en 3 minutes et 30 secondes (mesure personnelle, mais le site web indique de 4 à 5 minutes), c’est donc largement jouable [11]... s’il n’y a ni queue ni trop de vent ce jour-là (puisqu’il faut atteindre le sommet en moins de 6 à 7 minutes pour pouvoir profiter du coucher de Soleil une seconde fois) !

Admettez tout de même qu’un peu de maths, un peu d’astronomie, et hop, le monde est tout de suite plus romantique.

Post-scriptum :

La rédaction d’Images des mathématiques et l’auteur remercient les relecteurs qui ont pris le temps de regarder cet article et en particulier Maxime Bourrigan et Jérôme Perez pour leur relecture attentive et leurs commentaires. L’auteur remercie aussi Etienne Ghys, Marc Lilley, Cyril Pitrou et Pierre Pansu pour leurs réactions sur la première version de ce texte.

Article édité par Pierre Pansu

Notes

[2Un rencart, comme on dirait en français.

[3Le chiffre à retenir est peut-être la circonférence moyenne de la Terre qui est de l’ordre de 40 000 km. On obtient une valeur de $(40 000/2\pi)$ km pour le rayon moyen de la Terre

[4Rappelons que la lumière se propage en ligne droite dans un milieu homogène. Ce n’est plus le cas lorsqu’elle traverse un milieu d’indice variable comme l’atmosphère. Ceci est à l’origine de phénomènes comme les mirages. Il faudrait en fait prendre cet effet en compte, ce que nous discuterons à la fin de cet article.

[5Ceci n’est pas une coïncidence et nous rappelle qu’à la Révolution le mètre a été défini comme la dix millionième partie du quart de méridien terrestre.

[6Le symbole $\odot$ est utilisé en astronomie pour désigner le Soleil.

[7En relativité générale, les horizons sont des propriétés de certains espace-temps, comme ceux décrivant les trous noirs. Ils sont aujourd’hui activement étudiés.

[8L’ordre de grandeur est en effet correct mais nous avons un peu de chance ici car la physique rend les choses bien plus compliquées. Heureusement, deux effets se compensent. Premièrement, l’aplatissement (diffusion-réfraction) du Soleil sur l’horizon n’est pas négligeable et le facteur entre le diamètre observé et le diamètre réel est de 0,85 . La durée du coucher du Soleil est donc diminuée de 15% par cet effet. Mais le fait que les rayons ne se propagent pas en ligne droite augmente la durée du coucher du soleil de 17%. Ouf ! Pour se détendre, on pourra regarder cette petite vidéo en anglais.

[10http://www.tablemountain.net

[11Le téléphérique ne monte pas à la verticale, effet que l’on pourrait modéliser mais qui reste négligeable. Le haut de Table Mountain est un plateau depuis lequel la mer est facilement visible.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Jean-Philippe Uzan — «A double sunset date» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Les schémas ont été réalisés par l’auteur.
Crédit logo : extrait d’un des films de la saga Star Wars par George Lucas http://starwars.com/

Commentaire sur l'article

  • A double sunset date

    le 8 juillet 2014 à 11:36, par amic

    Joli article, mais je me demande vraiment pourquoi il est étiqueté « Piste noire », je pense qu’il est vraiment accessible et ce serait dommage d’en rebuter certains.

    Il faut avouer que ça paraît plus faisable de voir deux levers de soleil, avec une bonne route et un vélo, et la chute en apprenant qu’il existe un bon téléphérique lève tout le mystère, le suspense est total !

    Il m’est déjà arrivé de voir deux levers de soleil successifs à vélo, mais dans un paysage de coteaux, ce qui est bien plus pratique ! En voir deux sur la mer doit être vraiment sympa…

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM