A mort les maths

29 août 2011  - Ecrit par  Pierre Colmez Voir les commentaires (12)

La scène se passe dans une école primaire à la fin des années 1970.
Un inspecteur demande à un petit garçon combien font $2+5$, à quoi le
petit garçon répond que $2+5$ font $5+2$ parce que l’addition est commutative.
Horreur de l’inspecteur qui déclare que les maths modernes font que les enfants
ne savent plus compter [1] et arrêt de mort desdites maths.
Cette réaction pose une question assez intéressante au niveau de la formation
des enfants. Il est clair que si le but de ladite formation est un formatage
uniforme, la seule réponse correcte à la question inquisitoriale est $7$.
Par contre, tout mathématicien sait bien
que $0$ peut s’écrire de plein de manières
différentes et que le choix de la bonne écriture est une forme d’art :

Je me souviens du plaisir ressenti quand on m’a expliqué, en classe de seconde,
que l’on pouvait écrire [2]
$0=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}$
pour montrer que \[x^2+x+1=x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}= (x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\] ne peut jamais être nul (si $x$ est réel).

Je ne compte plus le nombre de fois
que j’ai utilisé l’astuce diabolique que l’on m’a indiquée
en classe de première, et qui consiste à écrire
$0=-f(x)g(x_0)+f(x)g(x_0)$, pour obtenir
la formule $f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)=f(x)(g(x)-g(x_0))+g(x_0)(f(x)-f(x_0))$
à partir de laquelle on peut prouver que le produit de deux fonctions
dérivables est dérivable et calculer la dérivée du produit.

Notes

[1La scène prend une autre saveur si
on sait que le petit garçon en question était fils de deux mathématiciens,
n’avait pas la langue dans sa poche, et poursuit à l’heure actuelle
une brillante carrière de mathématicien.

[2J’étais au printemps à Chicago
et je discutais avec Vladimir Drinfeld de la quasi-absence de mathématiciens
américains. Il m’a dit qu’il fallait bien admettre que l’enseignement
des maths dans ce pays (les États-Unis) était un peu bizarre :
il avait découvert par hasard, en ouvrant le cahier de son fils, que l’on
donnait à apprendre par coeur les formules pour la résolution de
l’équation du second degré et la symétrie de la parabole sans jamais
faire compléter le carré (deux recettes indigestes en place d’une jolie idée...).
Rentré en France, je suis allé voir les
nouveaux programmes de seconde,
et voila ce que l’on y lit dans la colonne commentaires :
Les résultats concernant les variations
des fonctions polynômes de degré 2
(monotonie, extremum) et la propriété
de symétrie de leurs courbes sont
donnés en classe et connus des élèves,
mais peuvent être partiellement ou
totalement admis.
Savoir mettre sous forme canonique
un polynôme de degré 2 n’est pas un
attendu du programme
. Deux éminents collègues américains
semblent penser qu’il faudrait même complètement supprimer
l’étude de l’équation du second degré vu que la plupart des gens
n’auront jamais à en résoudre dans leur vie extrascolaire.

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Pour citer cet article :

Pierre Colmez — «A mort les maths» — Images des Mathématiques, CNRS, 2011

Commentaire sur l'article

  • A mort les maths

    le 29 août 2011 à 22:58, par Gaston Rachlou

    Petite question historique à propos de l’« astuce diabolique »
    ab-cd=a(b-d)+(a-c)d : où et quand apparaît-elle pour la première fois ?

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  • A mort les maths

    le 30 août 2011 à 13:08, par Maxime Bourrigan

    Cette « astuce diabolique » est quand même avant tout une évidence géométrique concernant l’aire d’un grand rectangle privé d’un petit rectangle. À ce titre, comme le dirait Vialatte, il ne fait pas de doute qu’elle remonte à la plus haute Antiquité.

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  • A mort les maths

    le 30 août 2011 à 18:06, par François Loeser

    Bonjour Pierre,

    La même anecdote sur 2 + 5 dans l’entretien entre Alain Connes et Stanislas Dehaene diffusé sur France Culture ce 28 août

    http://www.franceculture.com/emission-croisements-le-gout-des-mathematiques-2011-08-28.html

    mais avec Vladimir Arnold à la place de l’inspecteur de ta version...

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    • A mort les maths

      le 30 août 2011 à 21:28, par Pierre Colmez

      Lors d’un « débat » sur Bourbaki entre Serre et Arnold, ce dernier a commencé son intervention par une liste de méfaits imputables aux criminels bourbakistes. Je ne me souviens pas de tous, mais parmi ces méfaits il y avait l’introduction de $0$ parmi les entiers naturels, le fait que « A implique B » ne signifie pas que l’on peut déduire B de A, et le fait qu’à cause de Bourbaki les enfants ne savent plus compter (témoin l’anecdote précédente ; l’ex petit garçon m’a dit qu’il trouvait que l’on abusait un peu de sa provocation enfantine...).

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      • A mort les maths

        le 31 août 2011 à 16:25, par François Loeser

        J’aurais du préciser que je recommande vivement l’écoute de cette émission. Entendre Alain Connes transmettre avec enthousiasme et passion sa vision des mathématiques est un réel bonheur !

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  • A mort les maths

    le 16 septembre 2011 à 13:38, par Karen Brandin

    Parce que j’avais conscience de ne rien pouvoir apporter de significatif en Théorie des Nombres, j’ai trouvé naturel à l’issue de ma thèse en 2006 de m’investir dans l’enseignement. Sauf que six années ont passé et que la discipline a été à ce point dépouillée de tout intérêt, de toute cohérence que je ne comprends plus ce que je fais là. En seconde, on applique effectivement en maths la méthode dite « globale » en lecture qui lorsque j’étais petite faisait couler beaucoup d’encre. Il s’agit pour les élèves de photographier une série de résultats et au plus de les reconnaître (le cours sur le second degré en est un exemple frappant). J’ai sous les yeux un chapitre de 1S (la première dans laquelle on s’engage naturellement si l’on envisage de s’investir dans les disciplines scientifiques) ; il apparaît une sorte de carte d’identité des homographies cette fois. Malheureusement, la notion de limite d’une fonction a disparu du programme (pas assez ludique sans doute) donc apparemment il faut que les élèves retiennent par coeur qu’au voisinage de l’infini, on met dans le tableau de variation le réel a/c (attention aux profs qui prendraient la liberté de changer l’ordre des lettres dans l’expression d’une homographie). Par coeur aussi, les équations des asymptotes (mot à éviter bien sûr) ainsi donc que les coordonnées du centre de symétrie de l’hyperbole sous-jacente.
    Quand on ne voit pas dans les maths une activité strictement « alimentaire », il y a de quoi avoir une crise de vocation.
    En seconde, on a le droit aux fonctions affines par morceaux mais pas à la fonction « valeur absolue » etc ... C’est vraiment navrant. Je passe sur les intervalles de fluctuation que l’on fait retenir de force, les futurs tests d’hypothèses qu’il va falloir appliquer sans savoir ce qui a conduit à ce type de modélisation. Quant aux nombres complexes, alors qu’il s’agissait pour les élèves d’un moyen (modeste) de toucher du doigt qu’un objet mathématique peut être dual, au sens disposer d’un visage algébrique et d’un visage géométrique, il est apparemment question de laisser de côté la partie géométrique à compter de l’an prochain.
    Comment ces élèves vont-ils pouvoir poursuivre des études scientifiques ? Pour moi, c’est un grand mystère. On leur donne des images de tout tout de suite pour les « séduire », il pleut des logiciels, des couleurs mais quand est-ce qu’ils vont pouvoir s’imaginer les objets, quand est-ce qu’ils vont pourvoir se les approprier, s’y attacher peut-être ?
    Je m’attends à ce que d’ici deux ou trois ans, les maths, comme le latin et le grec, acquièrent dès la seconde un statut d’option réservée à une « élite » (alors que si l’on perçoit les maths comme une discipline élitiste, elle n’y est vraiment pour rien ; ce sont les gens qui ont décidé cela pour elle). çà me décidera peut-être à me reconvertir enfin. Je suis malgré tout désolée pour ces élèves que l’on tire systématiquement vers le bas. Je leur dis toujours « résistez » mais ...

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  • A mort les maths

    le 17 septembre 2011 à 15:25, par pi.erdeux

    « le petit garçon en question était fils de deux mathématiciens et poursuit à l’heure actuelle une brillante carrière de mathématicien »

    Question naïve : est-ce une condition nécessaire pour être mathématicien de nos jours, d’être d’une part fils, d’autre part de mathématiciens ?

    Et, au risque de casser l’ambiance, je trouve pédante la réponse de l’enfant en question, formulée à l’école élémentaire (si bien entendu, il s’agissait bien d’une école primaire), dans ce lieu où un enseignant souhaite bien entendu une réponse « univoque » et « inquisitrice ».

    La beauté des astuces de calcul vient, il me semble, plus tard.

    Sur le fond, je suis d’accord avec vous à propos des nouveaux programmes et ai beaucoup de réserves sur l’importance de la partie « statistiques » par exemple.

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    • A mort les maths

      le 17 septembre 2011 à 23:06, par François Sauvageot

      Je suis d’accord que la réponse de l’enfant est une provocation (pédante sans doute). Elle n’est drôle (ou impertinente, c’est selon) que si l’on part de l’idée qu’il connait aussi la réponse attendue. L’anecdote prouve en ce sens que ce gamin en savait plus que ce qui était attendu.

      Ce que j’aimerai attester et connaitre plus en détail, c’est la réaction de l’adulte. Non pas vis-à-vis de l’enfant, mais ensuite. Voire lui demander ce qu’il s’est passé, à lui.

      Pour revenir aux astuces diaboliques, elles sont le reflet de la polysémie. Si l’aire d’un rectangle privé d’un autre n’est plus au goût du jour (en partie parce que la géométrie n’est plus en vogue et en partie parce qu’étrangement le développement des maths fait aussi que peu de monde continue à penser à un produit comme étant évidemment une surface ... comme le prouve l’expression « au carré »), on peut y penser autrement.
      J’en ai une vision certes plus sophistiquée, mais qui est évidemment une autre façon de dire la surface, à savoir les déterminants. Personnellement je ne peux pas voir un ad-bc sans imaginer un déterminant et je pense que la façon la plus agréable (pour moi) de voir la dérivée d’un produit ou le passage au quotient dans un anneau est d’écrire
      \[\det\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)=\det\left(\begin{array}{cc}a-b&b\\c-d&d\end{array}\right)...\]

      François Sauvageot.

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    • A mort les maths

      le 18 septembre 2011 à 21:43, par Pierre Colmez

      Si vous demandez à des élèves de troisième de choisir des points $(x,y)$ de $[-2,2]\times[-2,2]$ au hasard et de les marquer en bleu si $x^2+y^2<1$ et en rouge si $x^2+y^2>1$, puis si vous leur demandez après un nombre suffisant de points marqués ce qu’ils pensent de l’ensemble des $(x,y)$ vérifiant $x^2+y^2=1$, il est probable que vous obtiendrez une réponse raisonnable. Si vous faites la même expérience avec des élèves d’une bonne math. sup., il est à parier que le mauvais esprit naturel va prendre le dessus et vous vous obtiendrez des réponses du genre « un ensemble non vide », « une ellipse » ou « une cycloide avec une infinité de points de rebroussement »... Tout ça pour dire que poser des questions impertinentes insultant l’intelligence de l’interlocuteur peut amener des réponses du même tonneau.

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    • A mort les maths

      le 30 septembre 2011 à 20:31, par Alan Picol

      Quel intérêt d’apprendre l’addition à des enfants de primaire ? Pourquoi ne pas s’arrêter à des additions à 2 chiffres ? Pourquoi ne pas laisser les ordinateurs et autres calculatrices faire leur travail ?

      Parce que l’intérêt de l’addition est fort :
      * c’est une notion de base pour n’importe quelles mathématiques
      * c’est un algorithme simple et gratifiant (on peut l’utiliser immédiatement avec des exemples de la vie courante), facilement explicable
      * ...

      L’intérêt n’est PAS de demander à l’enfant d’être aussi bête et perfectionné qu’un ordinateur, à qui, si l’on demandait 50 fois par jour « 2+5 = ? », répondrait, invariablement, 7, ou quelque chose de semblable s’il n’est pas malade.

      Pourtant, de nombreux enfants y croient, à mon humble avis : c’est d’ailleurs ce que S. Baruk appelle « l’automathisme ». On leur demande de juste répondre bien aux questions qu’on leur pose, et de ne pas s’amuser avec. C’est dramatique.

      Je suis donc particulièrement étonné de lire ici qu’un enfant qui ne veut pas répondre 7 à une question aussi évidente fait preuve de pédance, défiance, ou de je ne sais quoi. Un enfant aime jouer, y compris avec de nouvelles connaissances, et je doute qu’un enfant désire ardemment défier un adulte sur une petite question de cette ordre.

      Les math devrait être un jeu avant d’être un combat d’égo. (...)

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  • A mort les maths

    le 2 octobre 2011 à 20:52, par Gédéon

    Je ne vois pas non plus ce que ça a de pédant.

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    • A mort les maths

      le 6 octobre 2011 à 12:35, par Karen Brandin

      C’est étrange en effet ce mot « pédant » pour qualifier une réaction d’enfant (le propre de l’enfance étant a priori la spontanéité) parce qu’il suggère plus ou mois une volonté de contrarier et donc une attitude préméditée comme si l’enfant en question avait fatalement pensé « 7 » comme tout à chacun mais que par provocation, il ait rapidement cherché comment formuler une réponse correcte sans pour autant être celle que l’on attendait (au sens « du commun des mortels »). J’imagine que ce type de perversion intellectuelle se rencontre bien sûr mais il doit s’agir soit d’enfants conditionnés par un milieu (de ce fait particulier), soit d’enfants réellement précoces qui provoquent l’adulte (seul interlocuteur du coup envisageable) par ennui et donc pour susciter un intérêt. Imaginer que la forme d’un enseignement rende plus naturel la réponse de la commutativité que celle de l’évaluation, me paraît peu crédible. Je n’ai aucune expérience des petits mais j’imagine qu’on les invite à visualiser 2 pommes et 5 pommes pour en déduire qu’il y en a finalement 7.
      Mais on s’éloigne du débat sans doute ...
      J’achève à l’instant la lecture du très succinct Sciences et Avenir de ce mois (numéro consacré aux Mathématiques et plus précisément à l’exposition à venir : « Mathématiques, un dépaysement soudain »)
      et j’ai lu avec plaisir que J.P. Bourguignon définit les maths comme « la science des structures ».
      C’est donc avec un éternel pincement au coeur que je me dis que les terminales (en particulier, les futurs élèves de classes préparatoires) vont quitter le lycée à 18 ans (au moins) sans avoir jamais pressenti seulement cette idée.

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