A propos de l’oxymore « C’est probablement vrai »

Le 12 octobre 2009  - Ecrit par  Denis Talay Voir les commentaires (1)

Mon précédent billet, intitulé « Le hasard fait bien les choses », se terminait
par l’annonce d’une suite consacrée à l’oxymore « C’est probablement vrai ». Puis
l’été est passé sans que je rédige cette suite. Par contre, j’ai lu le dernier ouvrage
d’un de mes auteurs actuels favoris, Jean Rouaud. Ce dernier est un très grand
écrivain qui scrute en profondeur, tantôt la durée des douleurs (il lui a fallu plusieurs
livres pour dessiner en creux la figure tragique du père disparu en pleine jeunesse),
tantôt l’instantanéité fulgurante du sentiment amoureux. Son écriture ample,
sinueuse, mélodique, revendique à raison ses racines chez Chateaubriand – on est
loin des objets de consommation qui encombrent les librairies. « La Femme
Promise », sans surprise, a comblé mes attentes littéraires – à un mot près. Page
90, on trouve la phrase suivante : « Ce qui veut dire, que le hasard qui vous a réunis,
dont vous n’avez pas discuté, auquel vous n’avez pas essayé de résister, adoptant
immédiatement la solution incongrue qu’il vous offrait – mais pour nous, le hasard est
un mot commode qui cache une démission de la raison à ce qui lui échappe – a bien
fait les choses ».

Le mot « démission » est une erreur. La théorie des probabilités, au contraire
d’être une démission de la raison, est une formidable construction intellectuelle pour
appréhender la connaissance imparfaite des données d’une expérience sensible
(mon précédent billet évoque les erreurs de mesures, les imperfections de certains
modèles mathématiques ou physiques, voire les impossibilités à modéliser
correctement certains phénomènes, je n’y reviens pas). Quelles sont les bases de
cette construction ?

Il a fallu longtemps pour forger les outils mathématiques permettant de
modéliser des phénomènes « incertains » et de justifier rigoureusement des
observations expérimentales (simples comme la loi des séries, ou compliquées
comme les convergences vers l’équilibre de particules désordonnées). De fait, il a
fallu attendre la théorie des ensembles et la théorie de l’intégration (de Borel et
Lebesgue) pour qu’Andreï Nikolaïevitch Kolmogorov, en 1933, puisse écrire
« Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung » (« Fondements du calcul des
Probabilités »). Dans un futur billet je tenterai d’expliquer l’avancée scientifique
extraordinaire que représente cet ouvrage. Pour le moment, je souligne seulement
que Kolmogorov introduit la notion de « mesure de probabilités » et quelques
axiomes qui sous-tendent toute la théorie des probabilités. Dans ce cadre
axiomatique et dans le cadre de la logique booléenne, une preuve est soit juste, soit
erronée, et un résultat est soit vrai, soit faux. Ainsi, si je joue à pile ou face dans des
conditions d’expérience qui justifient la modélisation habituelle, alors l’apparition de
deux fois pile en deux jets est de probabilité 1/4 ; évidemment, ce résultat est vrai
sous les hypothèses effectuées. De même, quand on dit « c’est probablement vrai
qu’il fera beau demain », on ne signifie pas que « par un raisonnement peut-être
juste, peut-être erroné (allez savoir), je prédis du beau temps pour demain », mais
on affirme que l’évènement « il fera beau demain » a une probabilité non nulle de se
produire (voire une probabilité proche de 1), et qu’on sait le prouver.

A propos, soulignons que, pour prouver l’affirmation en question, il faut
commencer par préciser l’objet « probabilité ». Pour illustrer ce point essentiel,
examinons la question suivante. Jetons un dé bleu et un dé rouge ; quelle est la
probabilité pour que la somme des faces vaille 7 ? La réponse semble évidente : sur
les 36 paires de deux chiffres possibles, six sont convenables ; la probabilité
recherchée est donc 1/6. Toutefois on pourrait prétendre que le résultat de
l’expérience est n’importe quel entier entre 2 et 12 et conclure que la probabilité est
1/11. En fait, les deux réponses n’ont aucun sens puisqu’on n’a pas précisé la
mesure des probabilités sous laquelle on effectue les calculs. S’il s’agit de la loi
uniforme sur les tirages, la première réponse est correcte, mais ce modèle serait
mauvais si les dés sont pipés ; dans ce cas, il faudrait choisir une nouvelle mesure
de probabilités qui refléterait au mieux le caractère inéquitable du jeu.

De manière générale, le choix d’une mesure de probabilité bien adaptée à
l’expérience est un problème difficile. On l’aborde à l’aide des statistiques ou de
techniques numériques délicates d’optimisation. Le plus souvent, il n’existe pas un
seul modèle probabiliste raisonnable et un énoncé du type « on observera une valeur
positive avec probabilité au moins 0.5 » (condensé en « c’est probablement vrai
qu’on observera une valeur positive ») pourra être vrai ou faux selon la mesure de
probabilités retenue.

En conclusion, en probabilités comme dans les autres branches des
mathématiques, un énoncé est toujours soit vrai, soit faux. Seules sont probables les
occurrences d’événements particuliers. Le but des spécialistes en probabilités est de
choisir, pour une expérience donnée, une mesure de probabilités appropriée et de
calculer, pour cette mesure, les probabilités d’occurrence d’événements intéressants.

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Pour citer cet article :

Denis Talay — «A propos de l’oxymore « C’est probablement vrai »» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

  • A propos de l’oxymore « C’est probablement vrai »

    le 6 mai 2010 à 12:50, par Olivier Faugeras

    Cher Denis,

    Ne penses-tu pas qu’il serait utile de nuancer ton dernier paragraphe dans lequel tu dis « un énoncé est toujours soit vrai, soit faux », ce qui est correct, en lui ajoutant la conséquence du premier théorème d’incomplétude de Gödel qui dit que tout système formel consistant qui contient « suffisamment » de théorie des entiers naturels est incomplet, c.a.d. qu’il contient des propositions vraies mais indémontrables.

    Répondre à ce message

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