A propos de la description des gaz parfaits

Le 15 octobre 2006  - Ecrit par  Laure Saint-Raymond Voir les commentaires (1)

Le sixième problème posé par Hilbert au Congrès International
des Mathématiciens en 1900 appelait une
compréhension globale de la dynamique des gaz. Une analyse fine de
l’équation de Boltzmann permet aujourd’hui
d’obtenir rigoureusement une description multi-échelle complète
des gaz parfaits an régime visqueux.

De la dynamique moléculaire aux modèles cinétiques

Au niveau microscopique, un gaz est constitué d’un grand nombre de
particules élémentaires en interaction, dont
la dynamique est régie par le principe de Newton. Dans le cas d’un
gaz parfait, par exemple pour l’air dans les
conditions normales de température et de pression, le volume
occupé par les particules est négligeable par rapport
au volume total du gaz, ce qui signifie que les collisions mettant en
jeu plus de deux particules ou des particules ayant
déjà interagi sont fortement improbables : seules les collisions
binaires entres particules non corrélées ont un
rôle déterminant dans l’évolution du gaz. La dynamique d’un gaz
parfait peut alors être décrite par une
approche statistique, à l’aide des fonctions de distribution de
chaque espèce de particules (qui donnent le nombre
instantanné de particules de position et vitesse quelconques fixées).

Pour un gaz parfait monoatomique, la fonction de distribution est
régie par une équation aux dérivées
partielles de type Boltzmann
\[Ma \partial _t f +v\cdot \nabla_x f={1\over Kn} Q(f),\]
qui prend en compte d’une part le transport des particules
(membre de gauche) et d’autre part la modification des
vitesses par les collisions (membre de droite) qui sont
supposées instantannées et
élastiques. Les propriétés de symétrie sur
l’opérateur $Q$ ainsi obtenu (opérateur intégral par
rapport
à la variable $v$) impliquent en particulier les deux principes
fondamentaux de la thermodynamique, c’est-à-dire la
conservation locale de la masse, de l’impulsion et de
l’énergie,
ainsi que la croissance locale d’une certaine quantité, appelée
entropie. Les maximiseurs de l’entropie à
masse, implusion et énergie fixées (qui sont aussi les
annulateurs de l’opérateur $Q$) sont les distributions
gaussiennes conformément à la prédiction statistique
de Boltzmann.

PNG - 83.6 ko

Approximations hydrodynamiques

Si les collisions sont suffisamment fréquentes, l’entropie du gaz
croit rapidement et la
distribution de vitesses en tout point de l’espace relaxe rapidement
vers une Gaussienne. L’état du gaz est alors
complètement déterminé par ses grandeurs thermodynamiques
locales, à savoir sa température, sa pression et sa
vitesse macroscopique d’écoulement. Des modèles hydrodynamiques
permettent donc d’obtenir des approximations de
l’équation de Boltzmann dans la limite de relaxation rapide,
c’est-à-dire quand le nombre de Knudsen
$Kn$ (mesurant le rapport entre le libre parcours moyen et
l’échelle de longueur considérée) est très petit.

Ces modèles hydrodynamiques dépendent d’une autre
caractéristique du gaz, sa compressibilité. Pour
mesurer la capacité du gaz à propager les variations de pression,
on introduit un autre nombre sans dimension, le
nombre de Mach $Ma$, qui est défini comme le rapport entre la vitesse
moyenne d’écoulement et la vitesse d’agitation thermique (appelée
aussi vitesse du son). Si le nombre de Mach est
très petit, les variations de pression sont rapidement compensées
par l’agitation thermique et la gaz est presque
incompressible. Dans le cas où le nombre de Mach est aussi petit
que le nombre de Knudsen, l’agitation thermique est
tellement importante qu’elle induit des corrélations à
l’échelle de longueur d’observation : l’écoulement est
dissipatif, comme le prédit la relation de Von Karmann qui relie
le nombre de Reynolds $Re$ (inversement
proportionnel à la viscosité cinématique) aux nombres de Mach
et de Knudsen :
\[Re= {Ma \over Kn} \]
Ainsi les modèles compressibles visqueux ne sont pas obtenus comme
limites fluides de l’équation de Boltzmann : pour
les gaz parfaits, les particules élémentaires sont de taille
négligeable de sorte qu’il n’y a pas de
dissipation liée à un terme de volume exclu dans la relation d’état.

PNG - 43 ko
Figure 2. Approximations hydrodynamiques de l’équation de Boltzmann.

Phénomènes de relaxation et d’oscillation

Le mouvement « moyen » décrit par les modèles hydrodynamiques dans
la limite de relaxation rapide est associé à la
notion de convergence faible, cela signifie que l’on néglige tous
les phénomènes physiques qui se passent sur des
échelles spatio-temporelles plus petites que l’échelle
d’observation, pourvu qu’ils ne perturbent pas le mouvement
d’ensemble (même sur des temps longs).

La relaxation est un phénomène très localisé en temps et en
espace : en remplaçant les distributions de
vitesses par les équilibres thermodynamiques locaux correspondants,
on commet essentiellement une erreur sur de fines
couches spatiales ou temporelles, appelées couches limites.
Toutefois cela peut entrainer une modification des
données initiales ou des conditions aux bords
à prendre en compte pour le mouvement macroscopique.

Les phénomènes oscillatoires haute fréquence ou à petite
longueur d’onde n’apparaissent pas non plus dans
l’approximation hydrodynamique car, en moyen-ne, ils n’induisent
aucun déplacement du gaz. Ce point est beaucoup plus
délicat à vérifier car les modèles fluides obtenus
asymptotiquement ne sont pas linéaires, les différentes
ondes sont donc couplées et il faut alors s’assurer qu’elles ne
produisent pas d’interférences constructives. De
plus, même dans le cas où les oscillations se découplent
totalement du mouvement moyen, on peut être amené à
en garder une description précise à cause de leurs
propriétés de propagation : c’est par exemple le cas si on
veut étudier les répercussiuons sonores du décollage d’un
avion (étant bien entendu que les ondes acoustiques ne
modifient pas le mouvement de l’avion !).

PNG - 23.3 ko
Figure 3. Corrections à l’aproximation hydrodynamique.

Vers une justification mathématique des développements multi-échelle

Etant donné les enjeux tant du point de vue de la modélisation
que du point de vue de l’analyse des équations aux
dérivées partielles, le sixième problème de Hilbert [Hil] (qui consiste
à obtenir de façon rigoureuse une description multi-échelle de
la dynamique des gaz) a suscité de nombreux
travaux.
Aujourd’hui le seul régime qui donne lieu à une étude
asymptotique à peu près complète est celui qui conduit
aux équations de Navier-Stokes [1] incompressibles, dont la théorie
est la mieux comprise.

Le schéma de preuve introduit par Bardos, Golse et Levermore [BGL]
consiste à obtenir les équations du
mouvement moyen, en passant à la limite dans les conservations
locales de masse, impulsion et énergie associées à
l’équation de Boltzmann. Le développement asymptotique de la
distribution de vitesses
\[ f\sim M_f +Kn \,\, (v\cdot \nabla_x) M_f + o(Kn)+o(Ma)\]
(où $M_f$ désigne la Gaussienne de mêmes moments que $f$)
permet alors de décomposer chacun des termes de flux en un terme de
convection (qui s’exprime comme une fonction non
linéaire des grandeurs thermodynamiques locales), un terme de
dissipation et des termes de reste.

Les principales difficultés consistent alors d’obtenir un
contrôle sur les particules de grandes vitesses (assurant
qu’il n’y a pas de déperdition d’énergie asymptotiquement), et
surtout de décrire précisément les oscillations
et leurs
éventuels couplages.

PNG - 27.6 ko
Figure 4. Modification du mouvement par couplage d’ondes haute fréquence.

Lions et Masmoudi [LM] ont montré que les oscillations temporelles,
bien connues sous le
nom d’ondes acoustiques, n’avaient pas de contribution au mouvement
moyen par un argument de type compacité par
compensation. Golse et l’auteur [GS] ont ensuite établi un
résultat de régularité spatiale sur les
grandeurs thermodynamiques qui repose sur un argument de dispersion
et un lemme de moyenne, et qui écarte toute
possibilité d’oscillations spatiales. Les autres difficultés,
beaucoup plus techniques, sont liées à la théorie
de l’équation de Boltzmann, et notamment au concept très faible
de solution introduit par DiPerna et Lions. [DL].

Références

D. Hilbert. ]Sur les problèmes futurs des Mathématiques. Congrès intern. des math., Paris 1900, (1902), 58—114.

C. Bardos, F. Golse & D. Levermore.] Fluid Dynamic Limits of Kinetic Equations II : Convergence Proofs for the Boltzmann Equation, Comm. Pure Appl. Math., 46 (1993), 667—753.


P.L. Lions & N. Masmoudi.
From Boltzmann Equations to Navier-Stokes Equations I, Arch. Ration. Mech. Anal., 158 (2001), 173—193.


F. Golse & L. Saint-Raymond.
The Navier-Stokes Limit of the Boltzmann Equation for Bounded Collision Kernels, Invent. Math., 55 (2004), 81—161.


R.J. DiPerna & P.L. Lions.
On the Cauchy Problem for the Boltzmann Equation : Global Existence and Weak Stability Results. Annals of Math., 130 (1990), 321—366

Notes

[1Voir à ce sujet ce portrait

Partager cet article

Pour citer cet article :

Laure Saint-Raymond — «A propos de la description des gaz parfaits» — Images des Mathématiques, CNRS, 2006

Commentaire sur l'article

  • A propos de la description des gaz parfaits

    le 14 novembre 2010 à 01:39, par steph

    Bonjour Laure,

    N’y aurait-il pas une inversion sur la figure 2 i.e. ne faudrait-il pas intervertir Ma\simeq Kn et Ma\gg Kn sur le graphe ?

    Stéph

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Suivre IDM