Ce billet est consacré à quelques remarques que j’ai eu l’occasion de faire à propos de la notion de produit vectoriel. Il est écrit pour les lecteurs de IdM qui connaissent un peu d’algèbre.

J’ai toujours été fasciné par le produit vectoriel. Il a de belles propriétés qui étonnent lorsqu’on les rencontre pour la première fois car elles sont fort différentes de celles des opérations arithmétiques auxquelles on est habitué.

Dans $\mathbb{R}^3$, le produit de $a=(a_1,a_2,a_3)$ et $b=(b_1,b_2,b_3)$ est
\[a\wedge b=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)\]

En plus d’être bilinéaire et antisymétrique, il vérifie une identité remarquable, la formule du double produit vectoriel :
\[a\wedge (b\wedge c)=(a\cdot c)b-(a\cdot b)c\]

dans laquelle le « point centré » représente le produit scalaire :
\[a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\]

Ceci s’étend en fait à tout espace vectoriel réel $E$ de dimension 3 muni d’un produit scalaire $g$ et d’une orientation. Avec ces données, on peut en effet doter $E$ d’une multiplication ayant les mêmes propriétés que le produit vectoriel de $\mathbb{R}^3$. On la note d’ailleurs avec le même symbole, le « wedge » $\wedge$, et on l’appelle aussi produit vectoriel [1].

Tous ces produits vérifient l’identité du double produit vectoriel, à condition de remplacer dans la formulation originale de celle-ci le produit scalaire de $\mathbb R^3$ par $g$.

Cette formule, qui a des conséquences importantes, m’a toujours intrigué et je me suis demandé jusqu’à quel point elle est caractéristique autrement dit, si les produits construits ci-dessus sont les seuls à la vérifier.

Formellement, on aimerait savoir quels produits antisymétriques $\tau$ définis sur un espace vectoriel $V$, réel et de dimension finie $n>1$, et quelles formes bilinéaires $\beta$ sur $V$ peuvent tenir les rôles du produit vectoriel $\wedge$ et du produit scalaire $g$ et, en particulier, vérifier l’identité :

\[\tau(u,\tau(v,w))=\beta(u,w)v-\beta(u,v)w\]

Il s’avère qu’on peut classifier tous ces triples $(V,\tau,\beta)$. Je n’ai guère la place ici pour expliquer le résultat complet - ce n’est d’ailleurs peut-être pas l’endroit pour le faire - et je me bornerai donc à décrire les solutions pour lesquelles $\beta$ est non dégénéré. Dans ce cas, $n$ vaut nécessairement 3 et, à isomorphisme près, il y a exactement deux triples répondant aux conditions imposées.

Ce fut pour moi une réelle surprise : le traditionnel produit vectoriel avait donc un frère jumeau dont j’ignorais l’existence jusqu’il y a peu. J’en ai par la suite trouvé trace dans un tout autre contexte, dans le beau petit livre Hyperbolic Geometry de Birger Iversen [2]. Je vais vous le présenter dans un instant.

Une conséquence de l’identité du double produit vectoriel, assez simple à obtenir, est que $\beta$ est complètement déterminé par $\tau$ et, en particulier, qu’il est symétrique. Ceci implique à son tour que $\tau$ vérifie une autre identité remarquable, appelée identité de Jacobi :

\[\tau(u,\tau(v,w))+\tau(v,\tau(w,u))+\tau(w,\tau(u,v))=0\]

(on l’établit en appliquant l’identité du double produit à chacun de ses termes). Ainsi, compte tenu de l’antisymétrie de $\tau$, $V$, muni de la multiplication $\tau$, est ce qu’on appelle une algèbre de Lie .

Beaucoup d’algèbres de Lie sont des sous-espaces de l’ensemble des matrices carrées, réelles ou complexes. Leur produit, appelé crochet de Lie , est alors le commutateur des matrices

\[(A,B)\mapsto [A,B]=AB-BA\]

Nos deux jumeaux sont isomorphes à des algèbres de Lie de matrices bien connues.

Les produits vectoriels « classiques » $(E,\wedge)$, ceux dont j’ai parlé au début de ce billet, sont isomorphes à l’algèbre des matrices carrées de taille $3$ à coefficients réels et antisymétriques, qu’on note usuellement $so(3)$ [3] :

\[ \begin{pmatrix} 0&-a_3&a_2\\ a_3&0&-a_1\\ -* a_2&a_1&0 \end{pmatrix} \]

Ce n’est pas bien difficile à vérifier ce que, conformément à l’esprit de ce billet, nous ne ferons pas.

Le « jumeau » est quant à lui isomorphe à l’algèbre $sl(2,\mathbb{R})$ des matrices réelles de dimension $2$ et de trace nulle :
\[ \begin{pmatrix} a&b\\ c&-a \end{pmatrix} \]
et $\beta$ est une forme bilinéaire de signature $(+,-,-)$.

La base naturelle
\[ e= \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix},\quad h= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix},\quad f=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix} \]
vérifie la table de multiplication
\[ [h,e]=2e,\quad [e,f]=h,\quad [h,f]=-2f \]
Elle n’est pas « orthonormée » pour $\beta$ mais
\[ e_1=\frac 1 2(f-e),\quad e_2=\frac 1 2 (f+e), \quad e_3=\frac 1 2 h \]
l’est en ce sens que dans celle-ci, en effet,
\[ \beta(a,b)=a_1b_1-a_2b_2-a_3b_3 \]
De plus

\[[e_1, e_2]=-e_3,\quad [e_2,e_3]=e_1,\quad [e_3,e_1]=-e_2\]

Ces relations subsistent dans toute base orthonormée de même orientation que $(e,h,f)$ et définissent le personnage à propos duquel je souhaitais vous dire ces quelques mots.