A quoi ça sert ?

Piste verte Le 20 janvier 2010  - Ecrit par  Michèle Audin Voir les commentaires (22)

On sait dessiner triangles équilatéraux, carrés, pentagones réguliers, hexagones réguliers, avec une règle et un compas. Mais pas les heptagones réguliers. Pourquoi ? Et à quoi bon se poser cette question ?

Pour dessiner un triangle équilatéral, je trace un segment (noir sur la figure), je mesure la longueur de ce segment avec mon compas, je plante la pointe de celui-ci à un bout du segment, je trace un arc de cercle (bleu sur la figure), je fais la même chose avec l’autre bout du segment (rouge). Si je m’y suis bien prise, les deux arcs de cercle se coupent en un point. À cause de la façon dont je l’ai construit, la distance de ce point à chacun des bouts du segment est égale à la longueur du segment, le point et les deux bouts sont les trois sommets d’un triangle équilatéral.

J’ai appris ça à l’école « élémentaire ». J’y ai aussi appris à dessiner, avec mon compas, des rosaces comme celle de la figure, et donc aussi des hexagones réguliers.

Dans ma trousse, outre la règle avec laquelle je dessinais les segments et le compas qui servait pour les cercles, je possédais un troisième instrument « géométrique », un rapporteur. Avec ce rapporteur, je savais dessiner des angles de mesure donnée. Par exemple, pour dessiner un pentagone régulier, je commençais par effectuer une division, 360 degrés (tout le cercle) divisé par 5 (le nombre de côtés du pentagone !), ce qui fait 72, et je dessinais des angles de 72 degrés avec mon rapporteur, grâce auxquels j’obtenais le pentagone désiré.

Plus tard, j’ai appris à dessiner des pentagones réguliers avec seulement ma règle et mon compas, sans utiliser mon rapporteur. Voici une façon de faire.

Comme vous voyez, il y a plusieurs étapes de construction, donc des traits auxiliaires. Avec l’épaisseur du crayon, le résultat est certainement moins précis que celui que j’obtenais avec mon rapporteur. Mais, même si le résultat était moins bon, j’étais très satisfaite de savoir le faire comme ça, de savoir, surtout, que c’était possible.

En réalité, aujourd’hui et pour les articles de ce site, je le fais avec un logiciel graphique, comme vous vous en doutez. Je déclare le nombre de côtés, 3, 6, 5, n’importe quel nombre de côtés, disons 7 ou 17 [1], voici le résultat :

Pourquoi parler de ça ici (où il est question de recherche actuelle) et maintenant (si longtemps après) ? Eh bien voici...

Une question sans intérêt pratique. La question de savoir si l’on peut dessiner un polygone régulier à $n$ côtés avec seulement une règle et un compas est, on l’a compris, une question sans intérêt pratique. Et elle l’était déjà, à la fin du dix-huitième siècle, lorsque Gauss a construit, avec une règle et un compas, un polygone régulier à 17 côtés : il n’utilisait pas de logiciel graphique mais il possédait certainement un bon rapporteur ! Il s’est pourtant donné la peine de démontrer que, si le nombre de côtés a une certaine forme (et 5 et 17 sont de cette forme), alors on peut construire le polygone à la règle et au compas.

De même, lorsque Wantzel a démontré, quarante ans plus tard, que, si ce nombre n’a pas la bonne forme, on ne peut pas. Par exemple, avec 7, on ne peut pas [2] !

À quoi ça sert ? Version 1

Si l’on avait posé la question à Gauss... (mais lui aurait-on posé la question ?) il aurait peut-être répondu, comme l’a fait Jacobi pas très longtemps après, et comme ça a été beaucoup répété depuis, qu’il faisait ça « pour l’honneur de l’esprit humain » [3].

À quoi ça sert ? Version 2

Je dédie la conclusion de ce petit article à tous les lecteurs qui aimeraient bien savoir à quoi ça sert... ce que font les mathématiciens, et à tous les mathématiciens qui craignent qu’on leur pose la question ! Après tout je suis, moi, fonctionnaire, c’est l’état qui me verse mon salaire, je dois donc prendre cette question au sérieux.

Il y a bien sûr des mathématiciens qui travaillent directement pour des applications immédiates. C’est plutôt de ce que l’on appelle la recherche fondamentale que je parle dans cet article. La recherche fondamentale s’intéresse à des questions qui, comme la construction des polygones à la règle et au compas, n’ont pas d’intérêt pratique évident.

Si j’ai choisi de parler des polygones, c’est précisément parce que j’en parle avec deux cents ans de recul [4], ce qui me permet de répondre à la question « à quoi ça sert ? » a posteriori. Dans les quarante ans qui se sont écoulés entre la construction des polygones par Gauss (ce qu’on peut faire) et la démonstration de ce qu’on ne peut pas faire, on a inventé la « théorie des groupes » (« on », c’est-à-dire Galois et Abel) qui est l’outil important de la démonstration de Wantzel. Et cette invention a provoqué un développement des mathématiques... dont presque tout ce qui a été fait depuis dépend. Même si beaucoup de gens ne le savent pas (y compris parmi les mathématiciens), de nombreux objets et outils que nous utilisons tous les jours utilisent ces mathématiques de façon essentielle (même si cachée), le système GPS par exemple, mais aussi les téléphones portables, les voitures, et même... les machines à laver modernes (dont le fonctionnement ne se limite pas au chauffage de l’eau et à la rotation du tambour) : il y a maintenant des ordinateurs dans beaucoup des objets et des outils de la vie quotidienne, et il n’y a pas d’ordinateur sans code, pas de code sans algèbre.

Voici donc une branche de l’arbre dont il a été question ici et dont nous savons bien, deux cents ans après, qu’elle a porté des fruits... inespérés.

Le fait que l’on ne sache pas précisément à quoi ça va servir ne prouve pas que ça ne sert à rien.

Article édité par François Sauvageot

Notes

[1Pas parce que ce sont des nombres de Queneau, d’ailleurs ce n’en sont pas.

[2Les nombres $n$ pour lesquels on peut dessiner un polygone régulier à $n$ côtés avec une règle et un compas sont ceux qui s’écrivent sous la forme une puissance de 2 multipliée par un produit de nombres premiers de la forme $2^{2^n}+1$ (nombres premiers de Fermat) tous distincts. Par exemple, $5=2^2+1$, $17=2^{2^2}+1$, mais pas $7$.

[3Qui de toute façon n’a plus cours... mais ça reviendra peut-être.

[4Pour être tout à fait honnête, c’est aussi parce que cette question du rapporteur ou pas rapporteur est une de celles qui m’ont impressionnée il y a bien longtemps, lorsque je possédais encore un rapporteur : les mathématiques servent (aussi) à faire plaisir aux mathématiciens.

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Pour citer cet article :

Michèle Audin — «A quoi ça sert ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

Commentaire sur l'article

  • A quoi ça sert ?

    le 20 janvier 2010 à 19:49, par lboullu

    Votre article me fait penser au Shadocks, qui pompent sans savoir pour quoi, mais en se disant qu’y vaut mieux pomper et qu’il ne se passe rien, plutôt que de ne pas pomper et que cela empêche quelque chose.
    Dans la continuité de votre article, je voulais vous demander si vous avez la connaissance d’une quelconque découverte, invention ou idée scientifique, qui n’a pas put être concrétisé parcque les maths n’étaient, ou ne sont, pas encore allé assez loin ?
    Merci de votre réponse

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    • A quoi ça sert ?

      le 21 janvier 2010 à 10:42, par Damien Calaque

      Le premier exemple qui me vient à l’esprit c’est la résolution des équations de Navier-Stokes avec des applications potentielles en mécanique des fluides.

      Cela étant votre question à propos « d’une quelconque découverte, invention ou idée scientifique, qui n’a pas put être concrétisé parcque les maths n’étaient, ou ne sont, pas encore allé assez loin » laisse penser qu’on a des idées d’un côté et qu’ensuite on va puiser dans la boîte à outil mathématique pour les réaliser. Or les mathématiques éclairent parfois nos connaissances et aident à avoir des idées.

      Exemple : on n’aurait JAMAIS eu l’idée de produire des cryptosystèmes basé sur les courbes elliptiques si on ne connaissait pas cet objet mathématique qui s’appelle une courbe elliptique.

      Bref, la réalité est un tout petit peu plus complexe qu’il n’y paraît.

      Amicalement,

      Damien C.

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    • A quoi ça sert ?

      le 21 janvier 2010 à 16:01, par Arnaud Chéritat

      • La fusion contrôlée et efficace.
      • L’unification de la gravitation et de la mécanique quantique.
      • Briser RSA.
      • La question de l’émergence de la vie.
      • Certaines simulations physiques donnent à désirer. La force brute ne suffira pas.
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  • A quoi ça sert ?

    le 20 janvier 2010 à 21:53, par LALANNE

    Peut-être que les mathématiciens sont les plus mal placés pour répondre à la question : à quoi ça sert ?

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    • A quoi ça sert ?

      le 8 juin 2013 à 09:23, par pygrre35

      les mathématiques Ä quoi sa sert pour moi Ä éveillé le cerveaux élémentaire Ö magnétite gliales neurones neuropédagogie terre-ciel Ä la marelle cube ouvert Ö arithmologie platon forme force Ä l’invisible nature Ö toponymie de lieux astronomie Ö arts sciences cultures tradition environnement solstice équinoxe harmonie terre-ciel-mer neuropsychologie du disque de nebra Ä l’eustatisme Ö plateau-continental la climatologie

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  • A quoi ça sert ?

    le 20 janvier 2010 à 22:10, par toto

    C’est plutôt de ce que l’on appelle la recherche fondamentale dont je parle dans cet article.

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  • A quoi ça sert ?

    le 21 janvier 2010 à 16:35, par toufou

    « Après tout je suis, moi, fonctionnaire, c’est l’état qui me verse mon salaire, je dois donc prendre cette question au sérieux. »

    Avec cette phrase vous vous mettez hors sujet. En effet vous répondez à la question « à quoi servent les mathématiques » et vous apportez une réponse du genre « à rien dans l’immédiat » et « parce que ça m’amuse ». Avouez que la réponse fais mal au cœur à celui qui aimerait que l’Etat lui vienne en aide pour manger ou se loger, ou bien à tous ceux qui essayent de créer de la richesse dans ce pays et ne trouvent aucun soutiens de la part de l’Etat.

    En vous plaçant du côté du fonctionnaire, il me semblerait plus juste et moins choquant de dire que le rôle du mathématicien Français consiste avant tout à transmettre des connaissances par ses enseignements et à cataliser les connaissances acquises dans le but de les transcender au vue d’applications plus vastes que le champs disciplinaire dont elles sont issues. Vous pourriez également ajouter sur un ton moins politiquement correct que vous participez au rayonnement (ou à la domination ?) de la France du savoir en sciences fondamentales. Rayonnement étant entendu indispensable dans le but d’attirer des investisseurs étranger et contribuer à la richesse du pays.

    Bien sûr je comprend que vous avez voulu répondre sur l’utilité de l’objet en lui même et non de son utilité sociale. Malheureusement en mélangeant les champs lexicaux, vous allez vous attirer les foudres de toutes parts...

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  • A quoi ça sert ?

    le 21 janvier 2010 à 19:19, par Michèle Audin

    Merci Damien, merci Arnaud pour vos réponses. Qui me dispensent d’en dire plus.

    C’est plutôt de ce que l’on appelle la recherche fondamentale dont je parle dans cet article.

    Mais comme c’est moi qui l’ai écrit... Merci Toto ! J’adore les pseudonymes.

    Peut-être que les mathématiciens sont les plus mal placés pour répondre à la question : à quoi ça sert ?

    Je ne le crois pas. Et c’est précisément la raison pour laquelle j’ai écrit cet article. Parce que je suis mathématicienne, que je suis payée (par vos impôts) pour faire de la recherche (fondamentale) et que je n’ai pas peur de la question « à quoi ça sert ? ». J’ai même donné dans cet article des réponses... de mathématicienne.

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  • A quoi ça sert ?

    le 23 janvier 2010 à 11:20, par Ilies Zidane

    Personnelement, je trouve la question : « à quoi ça sert » inutile.
    On est clairement aujourd’hui dans une société qui cree des besoins et vend les produits (ou services) qui en subviennent. Par exemple le téléphone pomme qui fait fureur en ce moment. Si on était moins dans une telle société de consommation, les interêts de la recherche fondamentale paraîtraient d’eux même.

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  • A quoi ça sert ?

    le 25 janvier 2010 à 18:21, par Sylvain

    Ah ! La beauté du geste : construire effectivement un polygone à 17 côtés comme l’ a fait Gauss, c’est difficile de ne pas trouver ça sexy ! Je me rappelle que la première fois que j’ai vu la construction esquissée , c’était dans un « Terracher » de terminale qui ne détaillait pas franchement les choses mais ma curiosité avait été piquée.

    Ceci dit, pour peut-être élargir le « à quoi ça sert », il me semble qu’il manque cruellement une sensibilisation éthique à certains mathématiciens.Certes,les mathématiques sont déraisonnablement efficaces et contribuent à créer des objets technologiques quasi magiques comme le GPS que vous mentionnez mais par ailleurs, il me semble qu’elles servent aussi,trop souvent,une certaine violence du monde.Curieux qu’une discipline qui est si souvent,à l’école et après, symbole de l’ Intelligence, soit si peu capable de s’interroger sur ce qu’elle produit.

    Je vais prendre un exemple tout ce qu’il y a de plus concret ; par curiosité, j’ai une grande envie d’aller me frotter à un master de probabilités dans une belle université parisienne. Dans cette formation qui opère un casting assez strict,on trouvera certainement des amoureux de la beauté du geste mathématique et un certain nombre de ... mercenaires (disons ça comme ça) qui serviront des institutions comme la Bourse, les assurances et autres figures de la finance qui nourrissent une certaine brutalité du monde.

    Bien sûr, les mathématiciens ne sont pas responsables du monde « comme il va » et comment il utilise leur savoir. Cependant , je ne peux m’empêcher de penser à Rabelais qui assimilait ,il y a bientôt cinq siècles, science sans conscience et ruine de l’âme.

    Qu’en pensez—vous ? Je serais heureux d’avoir votre point de vue.

    S.

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  • Pinaillons !

    le 26 janvier 2010 à 17:45, par Thierry Bouche

    Si on divise 360 par 5, ça n’est pas parce qu’un pentagone a 5 côtés, mais 5 angles (d’ailleurs c’est ce que le mot signifie !), non ?

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  • Ethique et pinaillage

    le 26 janvier 2010 à 18:23, par Michèle Audin

    il manque cruellement une sensibilisation éthique à certains mathématiciens

    Contrairement à ce qu’on essaie de vous faire croire ici et là (et même ici hélas), les mathématiciens sont des gens terriblement comme tout le monde. Il ne leur manque pas plus de sensibilisation éthique qu’aux autres humains vivant dans la même société. Et pas moins.

    Si on divise 360 par 5, ça n’est pas parce qu’un pentagone a 5 côtés, mais 5 angles (d’ailleurs c’est ce que le mot signifie !), non ?

    Ben non : les angles au centre, ils correspondent aux arcs de cercle dont les côtés sont les cordes, non ? voir la figure. Les angles du pentagone, d’ailleurs, comme chacun le voit, ils ne font pas 72°, mais 108°. Donc, même moi qui adore les pinaillages, bof bof pour celui-là, dirais-je...

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  • A quoi ça sert ?

    le 26 janvier 2010 à 23:15, par toto

    Comment pouvez-vous vous retrancher derrière mon anonymat alors qu’il n’y a pas si longtemps vous militiez contre les paroles excluantes ? Si votre construction grammaticale bancale n’est pas une parole excluante...

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    • Grammaire

      le 27 janvier 2010 à 06:45, par Michèle Audin

      Excusez-moi, mais

      • la seule personne qui puisse se retrancher derrière votre &anonymat, c’est vous.
      • on dit en français : « la recherche fondamentale dont je veux parler », mais « c’est de la recherche fondamentale que je veux vous parler ».

      De plus, la correction grammaticale n’a rien d’excluant, pas plus que l’incorrection, d’ailleurs.

      Répondre à ce message
  • A quoi ça sert ?

    le 27 janvier 2010 à 01:44, par Sylvain

    Votre réponse me laisse un sentiment mitigé. D’un côté, on peut dire que vous faites une réponse de sage : si je vous suis, votre argument est celui-ci : les mathématiciens forment un club d’humains et on observerait les mêmes travers dans tout groupe assez vaste. En prolongeant d’un epsilon ce que vous dites, j’entends « avant de parler d’éthique mathématicienne il faudrait s’interroger sur la nature humaine ».Bon.

    D’un autre côté, la nature humaine est ce qu’elle est : le meilleur y côtoie le pire. Et une fois qu’on a dit ça, on n’est pas très avancé.

    Voyez-vous, chère mathématicienne, ce qui me chagrine dans tout ça, c’est que les professionnels des mathématiques semblent botter en touche sur ces questions qui me semblent des questions de fond.

    A ma connaissance (très restreinte), ces réflexions sont parfois abordées par des historiens ou des philosophes des mathématiques. Serait-ce finalement les seuls qui auraient le temps d’y réfléchir ?

    Si ce n’est pas de la communauté scientifique que vient un premier large mouvement de protestation qui dit : « Non, le monde et nous mêmes ne devons plus pouvoir faire n’importe quoi avec nos idées », de qui viendra-t-il ?
    Qui serait plus légitime pour cela ?

    Trop compliqué ? Infaisable ? Utopique ? Démagogique ? Cela demande un pouvoir que les scientifiques n’ont pas aujourd’hui ? Peut-être mais ça aurait au moins l’intérêt de poser une question qu’on entend peu à mon goût.De toute façon, il faudra bien que quelque chose se passe.

    Très cordialement.

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    • A quoi ça sert ?

      le 27 janvier 2010 à 19:22, par Michèle Audin

      Je vous remercie de votre message, des questions intéressantes que vous posez, et de l’occasion que vous me donnez de dire ici ce que j’en pense. Il me semble que je ne vois pas les choses sur le même plan que vous. Je commence par discuter deux ou trois termes :

      les mêmes travers

      Je n’ai pas dit « travers ». J’ai dit qu’ils sont dans la société.

      la nature humaine est ce qu’elle est

      Je n’ai pas parlé de « nature humaine », ne sachant pas vraiment de quoi il s’agit. Je pense plutôt aux rapports sociaux (la lutte des classes...)

      une fois qu’on a dit ça, on n’est pas très avancé

      Reconnaissez que je ne l’ai pas dit !

      Mais venons-en au fond. Les questions que vous posez sont des questions politiques. Elles ne peuvent avoir de réponse que politique. Dans une démocratie, le pouvoir est au peuple, en principe.

      J’ai essayé de répondre à la question « à quoi ça sert ? » C’est mon rôle de scientifique. Ce que je fais là, et en particulier sur ce site, c’est essayer de donner au « peuple » en question les moyens de se faire une opinion.

      La démocratie, ce n’est pas que les scientifiques aient tel ou tel pouvoir. Leur rôle est d’informer, de donner les moyens de comprendre, de juger. A tous (y compris à eux-mêmes).

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  • Recherche fondamentale

    le 27 janvier 2010 à 17:00, par Michelle Schatzman

    Je ne crois pas que recherche fondamentale s’oppose à applications. Il y a de la recherche fondamentale qui est presque immédiatement applicable.

    Exemple : les ondelettes. Il s’agit d’un outil d’analyse du signal, initialement développé par Dennis Gabor, puis perfectionné par Jean Morlet et Alex Grossmann, et paramétré par plusieurs nombres réels. A l’étape suivante, Yves Meyer et Rafi Coifman fabriquent en 1983 (approximativement) une base dénombrable d’ondelettes lisses (ce qui a surpris beaucoup de gens). En plus, ils obtiennent toute sorte de résultats savants en analyse fonctionnelle, et transforment des outils avancés de l’École de Chicago en analyse dure en outils communs à toute la communauté mathématique faisant de l’analyse d’images. Il y a ensuite beaucoup d’étapes importantes, mais il importe de citer les travaux d’Ingrid Daubechies, qui est à l’origine d’algorithmes rapides de transformations en ondelettes. Ces algorithmes rapides sont basés sur des avancées mathématiques fondamentales. Si actuellement, l’analyse d’images utilise beaucoup d’autres outils que les ondelettes, on a eu là une interaction extraordinairement étroite et forte entre le côté appliqué et le côté fondamental des mathématiques.

    Je crois qu’il y a un argument très fort pour qu’un état continue à entretenir des mathématiciens qui font des choses qui ne s’appliquent pas de façon immédiate. Cet argument, c’est que les mathématiques sont un sujet vivant, fait par des gens vivants. Bien sûr, il y a des tas de grimoires dans les bibliothèques et des tas d’articles sur internet, donc on pourrait penser que la République ferait des économies en convertissant les mathématiciens inutiles en fonctionnaires utiles. Après tout, il se fait des mathématiques ailleurs dans le monde, et on pourrait utiliser les travaux faits aux Etats-Unis, avant d’utiliser ceux qui seront fait en Chine ou en Inde. En plus, les mathématiques n’étant pas brevetables, ces travaux resteront accessibles et utilisables.

    Ce raisonnement est mauvais, parce qu’il est exceptionnel qu’on puisse apprendre les mathématiques dans les livres en partant de zéro. L’exception la plus célèbre est bien sûr Ramanujan, autodidacte génial qui envoya à Hardy toute une série de résultats, dont certains étaient faux, d’autres connus et quelques uns vrais, inconnus et totalement révolutionnaires.

    Mais combien de Ramanujan ? Pour apprendre les mathématiques, on a besoin de contacts avec des mathématiciens vivants et productifs. C’est le moyen principal qui permet de comprendre ce qui est important et ce qui l’est moins, de savoir comment organiser son apprentissage, d’entendre parler des conjectures et des projets en cours.

    Si la République se débarrassait de tous ces mathématiciens inutiles, elle aurait le plus grand mal à reconstituer une école mathématique ultérieurement. On ne sait pas quand des mathématiques fondamentales deviendront applicables, ni si elles le deviendront, mais on sait que le jour où on a besoin de gens capables de faire de bonnes mathématiques, il vaut mieux avoir sous la main des groupes de bons mathématiciens faisant des choses (provisoirement) inutiles, plutôt que des groupes médiocres de mathématiciens utiles, qui ne pourraient pas dominer facilement de nouveaux sujets.

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  • A quoi ça sert ?

    le 29 janvier 2010 à 09:17, par Neotrad

    Bonjour,

    J’espère vous contredire, et vous ne m’en voudrez sûrement pas, sur le fait que l’honneur de l’esprit humain n’a plus cours.

    J’ai toujours au moins un étudiant qui s’emerveille de pouvoir approximer une fonction par un polynôme ou en constatant que certaines familles de courbes intégrales recouvrent le plan sans jamais se toucher ou encore en programmant lui même l’algorithme de construction d’un ensemble de Julia. Pourvu que cela dure !

    Non, l’esprit humain est bien vivace, son honneur aussi.

    Bien cordialement.

    Répondre à ce message
  • l’honneur de l’esprit humain

    le 29 janvier 2010 à 15:53, par Michèle Audin

    J’espère vous contredire, et vous ne m’en voudrez sûrement pas, sur le fait que l’honneur de l’esprit humain n’a plus cours.

    Non, je ne vous en veux pas. Je voulais juste dire que ça n’avait plus cours... chez nos décideurs, ceux qui financent la recherche !

    Répondre à ce message
    • l’honneur de l’esprit humain

      le 22 juin 2010 à 08:37, par Pierre Lescanne

      En tout cas le débat est ancien comme en témoigne la citation suivante :

      Le matelot, qu’une exacte observation de la longitude préserve du naufrage, doit sa vie à une théorie qui par une longue chaîne de vérité remonte à des découvertes faites par l’école de Platon, et ensevelies pendant vingt siècle dans une entière inutilité,

      Condorcet, Esquisse d’un tableau historique des progrès de l’esprit humain, (dernière phrase de la neuvième époque)

      Répondre à ce message
  • A quoi ça sert ?

    le 1er avril 2012 à 11:47, par Samuel

    Puisque on célèbre Poincaré, pourquoi ne pas relire sa réponse à cette question, qui, bien que datant d’un siècle me semble toujours d’actualité : La valeur de la science, chapitre V

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