A quoi ça sert ?

Piste verte Le 20 janvier 2010  - Ecrit par  Michèle Audin Voir les commentaires (22)
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On sait dessiner triangles équilatéraux, carrés, pentagones réguliers, hexagones réguliers, avec une règle et un compas. Mais pas les heptagones réguliers. Pourquoi ? Et à quoi bon se poser cette question ?

Pour dessiner un triangle équilatéral, je trace un segment (noir sur la figure), je mesure la longueur de ce segment avec mon compas, je plante la pointe de celui-ci à un bout du segment, je trace un arc de cercle (bleu sur la figure), je fais la même chose avec l’autre bout du segment (rouge). Si je m’y suis bien prise, les deux arcs de cercle se coupent en un point. À cause de la façon dont je l’ai construit, la distance de ce point à chacun des bouts du segment est égale à la longueur du segment, le point et les deux bouts sont les trois sommets d’un triangle équilatéral.

J’ai appris ça à l’école « élémentaire ». J’y ai aussi appris à dessiner, avec mon compas, des rosaces comme celle de la figure, et donc aussi des hexagones réguliers.

Dans ma trousse, outre la règle avec laquelle je dessinais les segments et le compas qui servait pour les cercles, je possédais un troisième instrument « géométrique », un rapporteur. Avec ce rapporteur, je savais dessiner des angles de mesure donnée. Par exemple, pour dessiner un pentagone régulier, je commençais par effectuer une division, 360 degrés (tout le cercle) divisé par 5 (le nombre de côtés du pentagone !), ce qui fait 72, et je dessinais des angles de 72 degrés avec mon rapporteur, grâce auxquels j’obtenais le pentagone désiré.

Plus tard, j’ai appris à dessiner des pentagones réguliers avec seulement ma règle et mon compas, sans utiliser mon rapporteur. Voici une façon de faire.

Comme vous voyez, il y a plusieurs étapes de construction, donc des traits auxiliaires. Avec l’épaisseur du crayon, le résultat est certainement moins précis que celui que j’obtenais avec mon rapporteur. Mais, même si le résultat était moins bon, j’étais très satisfaite de savoir le faire comme ça, de savoir, surtout, que c’était possible.

En réalité, aujourd’hui et pour les articles de ce site, je le fais avec un logiciel graphique, comme vous vous en doutez. Je déclare le nombre de côtés, 3, 6, 5, n’importe quel nombre de côtés, disons 7 ou 17 [1], voici le résultat :

Pourquoi parler de ça ici (où il est question de recherche actuelle) et maintenant (si longtemps après) ? Eh bien voici...

Une question sans intérêt pratique. La question de savoir si l’on peut dessiner un polygone régulier à $n$ côtés avec seulement une règle et un compas est, on l’a compris, une question sans intérêt pratique. Et elle l’était déjà, à la fin du dix-huitième siècle, lorsque Gauss a construit, avec une règle et un compas, un polygone régulier à 17 côtés : il n’utilisait pas de logiciel graphique mais il possédait certainement un bon rapporteur ! Il s’est pourtant donné la peine de démontrer que, si le nombre de côtés a une certaine forme (et 5 et 17 sont de cette forme), alors on peut construire le polygone à la règle et au compas.

De même, lorsque Wantzel a démontré, quarante ans plus tard, que, si ce nombre n’a pas la bonne forme, on ne peut pas. Par exemple, avec 7, on ne peut pas [2] !

À quoi ça sert ? Version 1

Si l’on avait posé la question à Gauss... (mais lui aurait-on posé la question ?) il aurait peut-être répondu, comme l’a fait Jacobi pas très longtemps après, et comme ça a été beaucoup répété depuis, qu’il faisait ça « pour l’honneur de l’esprit humain » [3].

À quoi ça sert ? Version 2

Je dédie la conclusion de ce petit article à tous les lecteurs qui aimeraient bien savoir à quoi ça sert... ce que font les mathématiciens, et à tous les mathématiciens qui craignent qu’on leur pose la question ! Après tout je suis, moi, fonctionnaire, c’est l’état qui me verse mon salaire, je dois donc prendre cette question au sérieux.

Il y a bien sûr des mathématiciens qui travaillent directement pour des applications immédiates. C’est plutôt de ce que l’on appelle la recherche fondamentale que je parle dans cet article. La recherche fondamentale s’intéresse à des questions qui, comme la construction des polygones à la règle et au compas, n’ont pas d’intérêt pratique évident.

Si j’ai choisi de parler des polygones, c’est précisément parce que j’en parle avec deux cents ans de recul [4], ce qui me permet de répondre à la question « à quoi ça sert ? » a posteriori. Dans les quarante ans qui se sont écoulés entre la construction des polygones par Gauss (ce qu’on peut faire) et la démonstration de ce qu’on ne peut pas faire, on a inventé la « théorie des groupes » (« on », c’est-à-dire Galois et Abel) qui est l’outil important de la démonstration de Wantzel. Et cette invention a provoqué un développement des mathématiques... dont presque tout ce qui a été fait depuis dépend. Même si beaucoup de gens ne le savent pas (y compris parmi les mathématiciens), de nombreux objets et outils que nous utilisons tous les jours utilisent ces mathématiques de façon essentielle (même si cachée), le système GPS par exemple, mais aussi les téléphones portables, les voitures, et même... les machines à laver modernes (dont le fonctionnement ne se limite pas au chauffage de l’eau et à la rotation du tambour) : il y a maintenant des ordinateurs dans beaucoup des objets et des outils de la vie quotidienne, et il n’y a pas d’ordinateur sans code, pas de code sans algèbre.

Voici donc une branche de l’arbre dont il a été question ici et dont nous savons bien, deux cents ans après, qu’elle a porté des fruits... inespérés.

Le fait que l’on ne sache pas précisément à quoi ça va servir ne prouve pas que ça ne sert à rien.

Article édité par François Sauvageot

Notes

[1Pas parce que ce sont des nombres de Queneau, d’ailleurs ce n’en sont pas.

[2Les nombres $n$ pour lesquels on peut dessiner un polygone régulier à $n$ côtés avec une règle et un compas sont ceux qui s’écrivent sous la forme une puissance de 2 multipliée par un produit de nombres premiers de la forme $2^{2^n}+1$ (nombres premiers de Fermat) tous distincts. Par exemple, $5=2^2+1$, $17=2^{2^2}+1$, mais pas $7$.

[3Qui de toute façon n’a plus cours... mais ça reviendra peut-être.

[4Pour être tout à fait honnête, c’est aussi parce que cette question du rapporteur ou pas rapporteur est une de celles qui m’ont impressionnée il y a bien longtemps, lorsque je possédais encore un rapporteur : les mathématiques servent (aussi) à faire plaisir aux mathématiciens.

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Pour citer cet article :

Michèle Audin — «A quoi ça sert ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

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  • Recherche fondamentale

    le 27 janvier 2010 à 17:00, par Michelle Schatzman

    Je ne crois pas que recherche fondamentale s’oppose à applications. Il y a de la recherche fondamentale qui est presque immédiatement applicable.

    Exemple : les ondelettes. Il s’agit d’un outil d’analyse du signal, initialement développé par Dennis Gabor, puis perfectionné par Jean Morlet et Alex Grossmann, et paramétré par plusieurs nombres réels. A l’étape suivante, Yves Meyer et Rafi Coifman fabriquent en 1983 (approximativement) une base dénombrable d’ondelettes lisses (ce qui a surpris beaucoup de gens). En plus, ils obtiennent toute sorte de résultats savants en analyse fonctionnelle, et transforment des outils avancés de l’École de Chicago en analyse dure en outils communs à toute la communauté mathématique faisant de l’analyse d’images. Il y a ensuite beaucoup d’étapes importantes, mais il importe de citer les travaux d’Ingrid Daubechies, qui est à l’origine d’algorithmes rapides de transformations en ondelettes. Ces algorithmes rapides sont basés sur des avancées mathématiques fondamentales. Si actuellement, l’analyse d’images utilise beaucoup d’autres outils que les ondelettes, on a eu là une interaction extraordinairement étroite et forte entre le côté appliqué et le côté fondamental des mathématiques.

    Je crois qu’il y a un argument très fort pour qu’un état continue à entretenir des mathématiciens qui font des choses qui ne s’appliquent pas de façon immédiate. Cet argument, c’est que les mathématiques sont un sujet vivant, fait par des gens vivants. Bien sûr, il y a des tas de grimoires dans les bibliothèques et des tas d’articles sur internet, donc on pourrait penser que la République ferait des économies en convertissant les mathématiciens inutiles en fonctionnaires utiles. Après tout, il se fait des mathématiques ailleurs dans le monde, et on pourrait utiliser les travaux faits aux Etats-Unis, avant d’utiliser ceux qui seront fait en Chine ou en Inde. En plus, les mathématiques n’étant pas brevetables, ces travaux resteront accessibles et utilisables.

    Ce raisonnement est mauvais, parce qu’il est exceptionnel qu’on puisse apprendre les mathématiques dans les livres en partant de zéro. L’exception la plus célèbre est bien sûr Ramanujan, autodidacte génial qui envoya à Hardy toute une série de résultats, dont certains étaient faux, d’autres connus et quelques uns vrais, inconnus et totalement révolutionnaires.

    Mais combien de Ramanujan ? Pour apprendre les mathématiques, on a besoin de contacts avec des mathématiciens vivants et productifs. C’est le moyen principal qui permet de comprendre ce qui est important et ce qui l’est moins, de savoir comment organiser son apprentissage, d’entendre parler des conjectures et des projets en cours.

    Si la République se débarrassait de tous ces mathématiciens inutiles, elle aurait le plus grand mal à reconstituer une école mathématique ultérieurement. On ne sait pas quand des mathématiques fondamentales deviendront applicables, ni si elles le deviendront, mais on sait que le jour où on a besoin de gens capables de faire de bonnes mathématiques, il vaut mieux avoir sous la main des groupes de bons mathématiciens faisant des choses (provisoirement) inutiles, plutôt que des groupes médiocres de mathématiciens utiles, qui ne pourraient pas dominer facilement de nouveaux sujets.

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