A voté !

Le 19 juin 2009  - Ecrit par  Louis Funar Voir les commentaires (3)

Plusieurs millions d’électeurs ont eu l’occasion d’exprimer leurs suffrages
en France comme ailleurs, au mois de juin à
l’occasion des élections pour le Parlement Européen.
Le principe du vote universel étant acquis, peu
de gens se sont demandés si les résultats du scrutin sont réellement
en conformité avec les préférences exprimées. Et c’est d’autant mieux
car tout système de vote démocratique a des failles.

Parmi les premiers à avoir analysé cette question dans une perspective
mathématique, et totalement objective,
se compte le Marquis Nicolas de Condorcet qui, en 1785, publia l’un de ses
principaux travaux sur ce sujet
 [1].
Cet essai explore l’intransitivité possible de la
majorité
 [2], c’est-à-dire que, lors d’une
élection, il est possible qu’une majorité
préfère A à B, qu’une autre majorité préfère
B à C, et qu’une troisième majorité préfère C à A... Les décisions prises
à une majorité populaire par ce mode de scrutin peuvent donc être
incohérentes.

Considérons par exemple un groupe de
50 votants ayant le choix entre trois propositions A, B et C.
Les préférences se répartissent ainsi (en notant A > B, le fait
que A est préféré à B) :

  • 20 votants préfèrent : A > B > C
  • 12 votants préfèrent : B > C > A
  • 2 votants préfèrent : B > A > C
  • 8 votants préfèrent : C > A > B
  • 8 votants préfèrent : C > B > A

Donc :

  • 28 préfèrent A > B contre 22 pour B > A
  • 34 préfèrent B > C contre 16 pour C > B
  • 28 préfèrent C > A contre 22 pour A > C

Ce qui conduit à la contradiction A > B > C > A.

Bien que ce paradoxe ne mette en cause que la
cohérence de certains systèmes de vote, quelques deux cents ans après,
le théorème d’impossibilité d’Arrow affirmera que le problème
est bien inhérent à la démocratie. Si Condorcet observait que les
systèmes de vote les plus simples engendrent des
contradictions, Arrow démontre en 1951 qu’en effet il n’existe pas
de système cohérent, hormis celui où la fonction de choix social
coïnciderait avec les choix d’un seul individu, parfois nommé dictateur.

Pour énoncer ce théorème (qui, avec d’autres contributions importantes en sciences économiques lui ont valu le prix Nobel d’économie en 1972)
on utilisera un peu de mathématiques qui nous
permettront surtout de bien comprendre ses hypothèses,
dont on peut penser qu’elle soient
assez raisonnables...

Le but du jeu est de classer en ordre des propositions,
en se basant sur les préférences individuelles. Les
préférences individuelles correspondent à des relations d’ordre
$r_1,r_2,\ldots, r_n$ sur l’ensemble $P$ des propositions
soumises au vote et la fonction de choix social $r$, ou le classement final,
est une fonction $f(r_1,r_2,\ldots,r_n)$ qui est également un
ordre sur $P$.

Voici maintenant les hypothèses sur cette fonction :

  1. Universalité

    Chaque préférence possible doit pouvoir être prise en compte,
    c’est-à-dire que toute relation d’ordre sur $P$ peut apparaitre
    comme un $r_j$ dans les arguments de $f$.

  2. Principe de Pareto

    Si une préférence fait l’unanimité alors
    elle doit se retrouver dans le classement final, et donc si
    $x,y$ sont des propositions telles que pour toute relation d’ordre $r_j$
    $x

  3. Indépendance

    Si les préférences changent sauf pour deux
    propositions alors ces deux propositions seront dans la même relation
    d’ordre qu’avant, pour éviter la manipulation.
    Donc, si $x $r'_1,r'_2,\ldots, r'_n$ sont d’autres relations d’ordre
    telles que $x par rapport au nouveau classement final $r'=f(r'_1,r'_2,\ldots,r'_n)$.

  4. Absence d’un dictateur

    Personne ne peut imposer son avis si tous les autres sont d’avis contraire. Donc si $x relations $r_j$ sauf peut-être une, on ne peut pas avoir
    $y

Le théorème d’Arrow s’énonce alors comme suit :

Lorsque le nombre de propositions est au moins 3 il n’existe pas de fonction de choix social vérifiant les hypothèses (1-4) ci-dessus.

Pour une discussion mathématique plus approfondie de ce résultat voir
par exemple cet article.
Le preuve n’est nullement compliquée et on peut la trouver soit dans
l’article ci-dessus, ici
ou dans le livre de Earl Hunt
 [3]
(en anglais).

Notes

[1Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix

[2Connue aujourd’hui sous le nom de
paradoxe de Condorcet

[3 The Mathematics of Behavior, Cambridge University Press, 2007

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Pour citer cet article :

Louis Funar — «A voté !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

  • A voté !

    le 19 juin 2009 à 10:54, par Alain Busser

    De mémoire, l’idée selon laquelle il n’y a pas de démocratie possible sauf dans les élections à un seul candidat (« dictatures ») n’est pas si récente que ça puisque J.J. Rousseau l’écrit quelque part dans « le contrat social ». Mais j’ai lu ce livre en 1980 ce qui, admettons-le, date un peu...

    Répondre à ce message
  • A voté !

    le 20 juin 2009 à 21:04, par pi.leleu

    il n’y a pas de démocratie possible sauf dans les élections à un seul candidat

    Un petit rappel : contrairement à ce que certains politiciens essaient de nous faire croire, la démocratie ne se limite pas aux élections.

    Répondre à ce message
  • A voté !

    le 22 juin 2009 à 00:22, par Rémi Peyre

    Je n’ai jamais compris pourquoi on faisait un tel foin autour du théorème d’Arrow. Je veux dire qu’il n’apporte pas grand-chose de plus que la paradoxe de Condorcet : à partir du moment où on a admis la règle n°3 (qui est tout de même une règle très forte), il suffit de remplacer la règle 4 par la règle à peine plus forte « tous les électeurs ont la même importance » pour arriver à la conclusion qu’un classement final, s’il existait, devrait refléter les préférences majoritaires pour toute paire de candidats, ce qui est impossible d’après le paradoxe de Condorcet. Or quand on regarde la preuve du théorème d’Arrow on passe par des circonvolutions intellectuelles quand même un peu tordues là où l’argument de Condorcet s’exprime en deux lignes...

    Ce que je trouve passionnant, par contre, c’est de comparer les différents systèmes de votes et leurs avantages relatifs. Par exemple il me semble manifeste que, dans le cas de l’élection présidentielle en France, le système uninominal à deux tours est très loin d’être le plus adapté à faire émerger un homme qui représente collectivement le peuple, parce que le premier tout impose aux candidats d’être charismatiques, donc de déplaire à beaucoup, et ne laisse pas de place à des politiciens plus consensuels... Mais ceci est un autre sujet.

    Répondre à ce message

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