Un desafío por semana

Abril 2014, cuarto desafío

El 25 abril 2014  - Escrito por  Ana Rechtman
El 25 abril 2014
Artículo original : Avril 2014, 4ème défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 17:

¿Cuál es el número natural más grande que divide a la suma de los cuadrados de tres números pares consecutivos cualesquiera?

Solución del tercer desafío de abril

Enunciado

La respuesta es nueve cuádruples.

Sea $(a,b,c,d)$ un cuádruple ’’centenario’’. Entonces

$(10a+b) + (c+d)=(10c+d) + (a+b)=100$ ,

es decir, $10a+c=10c+a=100-(b+d)$ . De esto se deduce que $a=c$, y $11a=100-(b+d)$. Como $b+d \leq 18$, se tiene $11a \geq 100-18=82$, de donde $a\geq 8$.

Se tiene dos casos :

  1. Si $a=c=8$, entonces $80+b+8+d=100$ , de donde $b+d=12$. Se obtiene así 7 cuádruples ’’centenarios’’: $(8, 3, 8, 9)$, $(8, 4, 8, 8)$, $(8, 5,8, 7)$, $(8, 6,8, 6)$, $(8, 7,8, 5)$, $(8, 8,8, 4)$ y $(8, 9, 8, 3)$.
  2. Si $a=c=9$, entonces $90+b+9+d=100$, de donde $b+d=1$. Se obtiene así dos cuádruples ’’centenarios’’: $(9, 0,9, 1)$ y $(9, 1,9, 0)$.

En consecuencia, hay 9 cuádruples ’’centenarios’’.

Post-scriptum :

Para saber más acerca de la imagen del mes de abril, lea Les lacs de Wada, de Étienne Ghys y Jos Leys.
Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Texto : Étienne Ghys - Ilustraciones: Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Abril 2014, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ’’Los lagos de Wada’’, por Jos Leys

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