Un desafío por semana

Abril 2014, tercer desafío

El 18 abril 2014  - Escrito por  Ana Rechtman
El 21 abril 2014
Artículo original : Avril 2014, 3ème défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 16:

Un cuarteto ordenado de cifras $(a,b,c,d)$ se dice que es ’’centenario’’ si satisface $(10a+b)+(c+d)=(10c+d)+(a+b)=100$. ¿Cuántos cuartetos ’’centenarios’’ hay ?

Solución del segundo desafío de abril

Enunciado

La respuesta es $22$ tríos.

Utilizando los criterios de divisibilidad se va a estimar los valores posibles de las cifras, para luego analizar cada una de las posibilidades.

Sean $a$, $b$ y $c$ tres cifras y $p$ el número que se escribe $579abc$. Como $p$ es divisible por 5, el dígito $c$ solamente puede tomar los valores 0 o 5. Como $p$ es divisible por 9, la suma de sus cifras es también divisible por 9, es decir que el número $x = 5+7+9+a+b+c = 21+a+b+c$ es divisible por 9. Además, como $0\leq a\leq 9$, $0\leq b\leq 9$ y $c$ es $0$ o $5$, se tiene
\[ 21\le x\leq 21+9+9+5 = 44. \]
De este modo, $x$ es igual a 27 o 36, es decir que la suma de las cifras de $p$ es 27 o 36.

  • Supongamos que $c=0$. Entonces se tiene $x= 21+a+b = 27$ o $x= 21+a+b = 36$.

En el primer caso $a+b = 6$, se tiene que $(a,b)$ puede ser igual a $(0,6)$, $(1,5)$, $(2,4)$, $(3,3)$, $(4,2)$, $(5,1)$ o $(6,0)$. Esto quiere decir que hay 7 números posibles.

En el segundo caso, $a+b = 15$, lo que implica cuatro posibilidades para el par $(a,b)$: $(6,9)$, $(7,8)$, $(8,7)$ y $(9,6)$.

  • Supongamos que $c=5$. Entonces se tiene $x=21+a+b+5=27$ o $x=21+a+b+5=36$. En el primer caso, $a+b=1$, de manera que hay dos posibilidades para $(a,b)$: $(0,1)$ y $(1,0)$. En el segundo caso $a+b=10$, se tiene nueve posibilidades para $(a,b)$: $(1,9)$, $(2,8)$, $(3,7)$, $(4,6)$, $(5,5)$, $(6,4)$, $(7,3)$, $(8,2)$ y $(9,1)$.

En consecuencia, hay $7+4+2+9=22$ tríos que uno puede agregar a la derecha de 579 para que el número obtenido sea divisible por 5 y por 9.

Post-scriptum :

Para saber más acerca de la imagen del mes de abril, lea Les lacs de Wada, de Étienne Ghys y Jos Leys.

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Étienne Ghys - Ilustraciones: Jos Leys.

2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Abril 2014, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ’’Los lagos de Wada’’, por Jos Leys

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