Un desafío por semana

Abril 2015, cuarto desafío

El 24 abril 2015  - Escrito por  Ana Rechtman
El 24 abril 2015
Artículo original : Avril 2015, 4e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 17:

Un punto $P$ esta al interior de un triángulo equilátero $ABC$. Sean $Q$, $R$ y $S$ los puntos de intersección de las perpendiculares trazadas desde $P$ a los lados $AB, BC$ y $AC$ respectivamente. Si $PQ = 1$ cm, $PR =2$ cm y $PS = 3$ cm, ¿cuánto mide el lado del triángulo $ABC$?

Solución del tercer desafío de abril:

Enunciado

La respuesta es $84$ ladrillos.

Los largos de las aristas son tres números entre $1$ y $7$. Entonces, para saber cuántos ladrillos puede hacer Jean, debemos contar los tríos no ordenados de números $(a,b,c)$ tales que todos son menores o iguales a $7$.

Examinemos cada caso. Si $a=b=c$ tenemos 7 tríos distintos, uno por cada valor posible. Supongamos ahora que dos números del trío son iguales. Observemos que para cada uno de los 7 valores posibles para este par de números, hay 6 elecciones posibles para el tercer largo. Entonces tenemos $7\times 6=42$ tríos con exactamente dos números iguales.

Nos falta contar el número de tríos en donde los tres largos son distintos. Hay $7\times 6\times 5=210$ tríos ordenados de números distintos y debemos dividir este valor por el número de veces que un trío no ordenado está siendo contado. Tenemos 6 órdenes posibles para cada trío, entonces en total tenemos $\frac{210}{6}=35$ tríos no ordenados de números distintos.

Por lo tanto Jean hace $7+42+35=84$ ladrillos diferentes.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart. 2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Abril 2015, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Daniela Kunze / Flora Press / BIOSPHOTO

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