Enunciado

La respuesta es $\frac{3}{4}$.

Sean $A,B$ y $C$ los tres puntos y $O$ el centro de la circunferencia. Sin pérdida de generalidad, supongamos que el punto $A$ está al extremo derecho de la circunferencia. Ubiquemos el punto $B$ sobre $A$ y movámoslo sobre la circunferencia en sentido antihorario : para cada posición del punto $B$, es posible definir la región donde se puede encontrar el punto $C$ para que los tres puntos pertenezcan a una misma semicircunferencia.

En lo que sigue, mediremos los ángulos en sentido antihorario y denotaremos por $x$ al ángulo $\widehat{AOB.}$ Supongamos que $x\le180^\circ$ y llamemos $A'$ y $B'$ a los puntos diametralmente opuestos a $A$ y $B$ respectivamente. Hay tres casos posibles para el punto $C$ :

• si $\widehat{AOC}\le180^\circ$ los puntos $A,B$ y $C$ pertenecen a la semicircunferencia superior de extremos $A$ y $A'$ ;
• si $180^\circ+x\le\widehat{AOC}< 360^\circ$ los puntos $A,B$ y $C$ pertenecen a la semicircunferencia que contiene a $C$ de extremos $B'$ y $B$ ;
• si $180^\circ<\widehat{AOC}<180^\circ+x$, entonces, $\widehat{AOB}+\widehat{BOC}>180^\circ$. Como $\widehat{COA}+\widehat{AOC}=360^\circ$, tenemos también que $\widehat{COA}+\widehat{AOB}>180^\circ$. Los puntos $A,B$ y $C$ entonces no pueden pertenecer a una misma semicircunferencia.

Notemos que si el punto $B$ está ubicado diametralmente opuesto al punto $A$, sin importar dónde ubiquemos el punto $C$, los tres puntos van a pertenecer a una misma semicircunferencia.

Cuando $x\ge180^\circ$, podemos mostrar de la misma manera que si $0\le\widehat{AOC}\le x-180^\circ$ o $180^\circ\le\widehat{AOC}\le360^\circ$, los puntos $A,B$ y $C$ estarán ubicados sobre una misma semicircunferencia.

Representemos esto en un cuadrado donde la medida del ángulo $\widehat{AOB}$ está representada en el eje horizontal y la del ángulo $\widehat{AOC}$ en el vertical. La parte coloreada representa los valores de los ángulos para los cuales los tres puntos pertenecen a una misma semicircunferencia.

Por lo tanto, la probabilidad de que los tres puntos estén sobre la misma semicircunferencia es igual a la proporción entre las áreas de la parte coloreada y del cuadrado, es decir, $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.