Un desafío por semana

Abril 2016, quinto desafío

Le 29 avril 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 29 avril 2016
Article original : Avril 2016, 5e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2016 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 18 :

¿Para cuáles enteros positivos $n$ el número $3^n-2n-1$ es divisible por $4$ ?

Solución del cuarto desafío de abril :

Enunciado

La respuesta es $2^{987}$.

Sean $x_1, x_2, \dots, x_{16}, \dots$ los números de la sucesión. Sabemos que $x_1=x_2=2$, y, por lo tanto, $x_3= 2\times 2= 2^2$, $x_4 = 2\times 2^2 = 2^3$, $x_5 = 2^2\times 2^3 = 2^5$, $x_6 = 2^3\times 2^5 = 2^8$. Notemos que los exponentes de la sucesión corresponden a los números de Fibonacci, es decir, que cada exponente es la suma de los dos exponentes anteriores. Tenemos entonces $x_7= 2^{13}$, $x_8= 2^{21}$, $x_9= 2^{34}$, $x_{10}= 2^{55}$, $x_{11}= 2^{89}$, $x_{12}= 2^{144}, x_{13}= 2^{233}, x_{14}=2^{377}, x_{15}=2^{610}$ y finalmente $x_{16}=2^{987}$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2016 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Abril 2016, quinto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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