Enunciado

La respuesta es $\frac{bc}{a^2} =\sqrt{6}$.

Las caras de un cubo son cuadrados cuyas áreas valen $a^2$, por lo que el área total del cubo es $6a^2$.

El tetraedro regular está formado por cuatro triángulos equiláteros. Con la ayuda del teorema de Pitágoras podemos ver que la altura de de un triángulo equilátero de lado $b$ vale $\frac{\sqrt{3}b}{2}$, por lo que su área es $\frac{\sqrt{3}b^2}{4}$. Por lo tanto, el área de un tetraedro de aristas de largo $B$ es $4\times \frac{\sqrt{3}b^2}{4}=\sqrt{3}b^2$.

Finalmente, el octaedro regular está formado por ocho triángulos equiláteros de lado $c$, por lo que su área vale $8\times \frac{\sqrt{3}c^2}{4}=2 \sqrt{3} c^2$.

Como los tres cuerpos tienen la misma área, tenemos

$6 a^2 = \sqrt{3}b^2 = 2\sqrt{3}c^2,$

de donde deducimos

$(6a^2)^2 = \left (\sqrt{3}b^2\right )\left ( 2\sqrt{3}c^2\right )$

$36 a^4 = 6 b^2c^2,$

y por lo tanto, $\frac{bc}{a^2} =\sqrt{6}$.