Un desafío por semana

Abril 2016, tercer desafío

El 15 abril 2016  - Escrito por  Ana Rechtman
El 15 abril 2016
Artículo original : Avril 2016, 3e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2016 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 16 :

¿Es posible escribir el número

$1^2+2^2+3^2+\cdots +12^2$

como la suma de $11$ cuadrados perfectos distintos?

Solución del segundo desafío de abril:

Enunciado

La respuesta es $\frac{bc}{a^2} =\sqrt{6}$.

Las caras de un cubo son cuadrados cuyas áreas valen $a^2$, por lo que el área total del cubo es $6a^2$.

El tetraedro regular está formado por cuatro triángulos equiláteros. Con la ayuda del teorema de Pitágoras podemos ver que la altura de de un triángulo equilátero de lado $b$ vale $\frac{\sqrt{3}b}{2}$, por lo que su área es $\frac{\sqrt{3}b^2}{4}$. Por lo tanto, el área de un tetraedro de aristas de largo $B$ es $4\times \frac{\sqrt{3}b^2}{4}=\sqrt{3}b^2$.

Finalmente, el octaedro regular está formado por ocho triángulos equiláteros de lado $c$, por lo que su área vale $8\times \frac{\sqrt{3}c^2}{4}=2 \sqrt{3} c^2$.

Como los tres cuerpos tienen la misma área, tenemos

$6 a^2 = \sqrt{3}b^2 = 2\sqrt{3}c^2,$

de donde deducimos

$(6a^2)^2 = \left (\sqrt{3}b^2\right )\left ( 2\sqrt{3}c^2\right )$

$36 a^4 = 6 b^2c^2,$

y por lo tanto, $\frac{bc}{a^2} =\sqrt{6}$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2016 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Abril 2016, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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