Un desafío por semana

Abril 2017, cuarto desafío

Le 28 avril 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 28 avril 2017
Article original : Avril 2017, 4e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 17 :

Si sumamos $36$ y $37$, obtenemos $73$. Cuando escribimos los dígitos de la suma en orden inverso, obtenemos $37$. ¿Cuántos números enteros positivos de $2$ dígitos tienen la propiedad que, si les sumamos $36$ e invertimos el orden de los dígitos de la suma, obtenemos el número inicial ?

Solución del tercer desafío de abril :

Enunciado

La respuesta es $AX= 5 DY$.

Sean $M$ el punto medio de $BC$ y $N$ el punto de intersección de $AM$ con la recta $XY$. Entonces $N$ es el punto medio de $AM$, y como $AXM$ es isósceles, $AN$ es perpendicular a $XY$. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el largo del lado del cuadrado es de $10\,\mathrm{cm}$. Como $BM= \frac{10}{2}=5 \, \mathrm{cm}$, por el teorema de Pitágoras tenemos $AM= \sqrt{10^2+5^2}=5\sqrt{5}\,\mathrm{cm}$ y $AN= \frac{1}{2} AM= \frac{5\sqrt{5}}{2}\,\mathrm{cm}$.

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Los triángulos rectángulos $ABM$ y $ANX$ son semejantes pues el valor del ángulo en $A$ es el mismo para ambos triángulos. Luego

$\frac{AX}{AN} = \frac{AM}{AB}$

$AX = \frac{AN \times AM}{AB}$

$AX = \frac{25}{4}\,\mathrm{cm}.$

Tracemos la paralela a $BC$ que pasa por $Y$ y denotemos como $I$ su punto de intersección con la recta $AB$. Los triángulos $ABM$ e $YIX$ son congruentes, ya que sus lados son perpendiculares dos a dos y $AB=IY$. Luego, $IX=BM=5\,\mathrm{cm}$. Por lo tanto, $DY=AX-IX=\frac{25}{4}-5=\frac{5}{4}\,\mathrm{cm}$, y finalmente, $AX= 5 DY$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Abril 2017, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - ROBERTO SORIN / SHUTTERSTOCK

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